数学定理大全的书-数学定理全集

写书这事儿，我总认定比搞数学还特别恶心。刚写第一章时，脑子里全装着“定理
一、定理
二、定理三”的格式，恨不得把整本书的目录都塞进那一堆公式里。但我后来想通了，真正能让人读下去的，仿佛反而是那些讲得乱七八糟、就连有点胡扯的段子。 比如讲费马大定理的时候，我就想着如何把它变成个笑话。费马是个法国人，为了在宴会上显得自己懂数学，硬生生把 $x^n + y^n = z^n$ 这个方程写成了 $p^a + q^b = r^c$，还特意选了个怪的数 $p=3$，$q=5$，$r=2$，$a=3$，$b=4$，$c=6$。
这数长得跟中文的“三”、“五”、“二”、“六”简直一模一样，一看就是个凑数的数字。他把这个看似异常伟大的猜想，当作是找一个特别难解的方程，结局……结局发现，这个方程根本不存有解，而费马大定理就是那个证明它不存有解的定理。费马那时候脑子肯定被这个怪的方程给绕晕了，他看着 $3^3 + 5^4 = 2^3 times 5^3$ 这一堆乱七八糟的数字，第一反应不是“哎呀我错了”，而是“哎？
如何算出来的数字长这样啊？”，然后启动在那上面跳来跳去，根本没想到这实际上是个反例，反了个题。
后来别人告诉他这是反例，他居然认定这笔账算得清清楚楚，就连认定这个反例比他自己的定理还好证明，结局让他错得比哪位都清楚。
那时候我就在想，数学是不是得换个活法？不能死板地讲定理，得让那些公式自己动嘴皮子，把道理讲清楚。 再比如讲集合论，老版 Kant 的集合论就特简洁。他说集合就是东西，集合之间的运算就是操，你定义两个集合 $A$ 和 $B$，然后想求 $A$ 和 $B$ 的交集，要么差集，要么并集。书里就写了个公式：$A cap B = {a mid a in A wedge a in B}$，就如此个符号，还得加几个汉字。
这玩意儿忒冷冰冰了吧？我后来想，既然集合如此好办操作，干嘛非得搞那套复杂的逻辑结构呢？还不如定义那么多抽象的概念，不如直接让集合自己讲话。集合就是东西，东西之间如何混、如何分，直接说就行。
为啥要引入那些毫无意义的符号？
为啥要规定交集要写成那样？干脆就定义两个集合 $A$ 和 $B$，然后直接写：$A$ 和 $B$ 的交集就是那些既归于 $A$ 又归于 $B$ 的东西。至于如何表示？直接写 $A cap B$ 就行，别搞啥韦恩图要么那种复杂的符号堆砌。
为啥非要那么多费事？出于集合本身就是东西，东西之间如何混，那是自然规律，别给它们搞啥特殊规矩。
这种写法比那套复杂的集合论好上百倍。 目前讲点实在的，比如概率。大量人认定概率就是那套背不完的公式，但我认定概率实际上就是个经验值。
你想啊，我扔骰子 100 次，每次都是 1，那我扔 1000 次，是不是还是 1？不是，是 $100/1000$，是 $10%$。
这 $10%$ 就是个经验值，是个大约数。
要是我把这个经验值往死里凑，比如连续扔 1000 次都是 1，那最终的概率就得变成 $1$ 啊。
这如何行？概率这东西，得有个上限。根据概率论的根本定理，任何事件形成的概率都不能超过 100%，即 $P le 1$。
这如何证明？这就好比我想证明忒阳明天会升起，但忒阳已经落山了，这如何可能呢？概率这东西，本身就是个上限，它比物理定律更严格，出于它不能违反常识。
故此，概率不是那种用来抽象思索的玩意儿，它就是生活里的经验值。
只要经验值没疯，概率就不会疯。
比如抛硬币，我抛了 100 次正面 $p$ 次反面 $q$ 次，那 $p$ 和 $q$ 的比例就是概率的估摸。
要是我把这个比例搞大了，大到离谱，那大约率就出难题了。
故此概率这东西，实际上就是经验，是经验在数学里的一个特例。 再说说逻辑，逻辑不是辩辩叨叨，逻辑就是逻辑。
要是你说“出于 A 故此 B"，那逻辑就是 A 一定是 B。别搞那些模棱两可的废话，别搞啥“可能”、“或许”、“大约”，那都是废话。逻辑就是确定的，就是铁一般的事实。
要是 A 是 B，那 A 就是 B，没有任何合计余地。
不要搞啥模棱两可的逻辑，逻辑不是用来吵架的，逻辑是用来办事的。
要是你问“出于 A 故此 B"，那逻辑就是 A 一定是 B。别搞那些模棱两可的逻辑，逻辑就是确定的，就是铁一般的事实。 还有哪儿还缺？我想起来了，数学告诉我们要信任概率，概率又告诉我们别信任绝对。
这听起来是不是矛盾？实际上不然，概率这事儿，就是告诉你在有限次试验里，某种结局出现的可能性有多大，但它不会告诉你无限次下去一定出现。概率这东西，就是告诉你在有限次试验里，某种结局出现的可能性有多大，但它不会告诉你无限次下去一定出现。
比如抛硬币，我抛了 100 次正面 50 次反面 50 次，那正面出现的概率估摸就是 50%。但我扔了 1000 次，还是 50 次正面 50 次反面 500 次正面，那正面出现的概率估摸就不是 50% 了，而是 50% 多一点还是少一点，反正不是 50%。
这挺正常，出于概率这东西，就是告诉你在有限次试验里，某种结局出现的可能性有多大，但它不会告诉你无限次下去一定出现。 故此，数学定理，实际上就是那些能让人理直气壮地胡说八道的东西。别想着去死记硬背，别想着去搞那些复杂的证明，数学就是一些能让人理直气壮地胡说八道的东西。别想着去死记硬背，别想着去搞那些复杂的证明，数学就是一些能让人理直气壮地胡说八道的东西。
比如费马大定理，费马当年为了在宴会上显得自己懂数学，硬生生把 $x^n + y^n = z^n$ 这个方程写成了 $p^a + q^b = r^c$，还特意选了个怪的数 $p=3$，$q=5$，$r=2$，$a=3$，$b=4$，$c=6$。
这数长得跟中文的“三”、“五”、“二”、“六”简直一模一样，一看就是个凑数的数字。他把这个看似异常伟大的猜想，当作是找一个特别难解的方程，结局……结局发现，这个方程根本不存有解，而费马大定理就是那个证明它不存有解的定理。费马那时候脑子肯定被这个怪的方程给绕晕了，他看着 $3^3 + 5^4 = 2^3 times 5^3$ 这一堆乱七八糟的数字，第一反应不是“哎呀我错了”，而是“哎？
如何算出来的数字长这样啊？”，然后启动在那上面跳来跳去，根本没想到这实际上是个反例，反了个题。
后来别人告诉他这是反例，他居然认定这笔账算得清清楚楚，就连认定这个反例比他自己的定理还好证明，结局让他错得比哪位都清楚。
那时候我就在想，数学是不是得换个活法？ 这本书大约就写到这儿吧，反正数学书写得越好，人就越难读。