勾股定理求阴影部分面积-勾股图求阴影面积

咱不整那些虚头巴脑的开场白，直接上干货。 你说求阴影局部面积，图里画着两个直角三角形和个长方形，看着有点乱。
实际上这题的核心就是看能不能拼凑，要么能不能套公式。咱们先把图看清，这长方形被两条斜线一割，上下两个小三角形和左右两个小三角形，形状别看不一样，但底和高往往有着某种联系。 先别管忒复杂的推导，咱们拿个最生活化的例子来摸下巴。假设题目里那个大长方形，边长分别是 8 厘米和 5 厘米。
那它的面积自然好算，$8 times 5 = 40$ 平方厘米。
这时候再眯着眼看看那两个直角三角形，它们的高就是长方形的宽，底就是长方形的长。可这俩三角形的高和底正好是互补要么重合的。举个具体的数字，要是左下角那个小三角形，它的底是 3，高是 4；那右上角的那个三角形，底就是 5，高就是 3。
哎，这明显不对劲，底和高得对应上。 什么的，这题往往不是千变万化的图形，而是经典的“半角模型”要么“勾股树”的变种。
这时候就得用那个最本质的公式了——直角三角形里，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这就叫勾股定理。别看名字听着高大上，但用起来实际上挺像把玩杂技。 咱们来算算这个阴影面积。假设阴影局部是由几个小局部拼成的，要么我们能够把它看作大图形减去空白局部。先算大长方形的面积，这一步稳稳的。
然后看看里面那两个白色的直角三角形。
要是一个三角形的直角边是 3 和 4，那它的面积就是 $frac{1}{2} times 3 times 4 = 6$。
要是另一个三角形直角边是 5 和 3，那面积就是 $frac{1}{2} times 5 times 3 = 7.5$。
这两个空白三角形加起来是 $13.5$，大长方形 $40$，那阴影就是 $40 - 13.5 = 26.5$。 但这只是针对一种特定图形的套路。
要是图里的斜线不是那种规整的直角，那情况就复杂了。
这时候就得换个思路。
比方说，有一个长方形，长是 10，宽是 6。
然后从四个角切出来四个直角三角形，每个三角形的直角边都是 2。你会发现，不管这四个三角形如何摆放，只要它们都是直角且边长吻合，就能利用勾股定理算出它们的面积，再相抵消去，最终剩下中间的阴影局部。 再深入一点，看看能不能从边长入手。假设阴影局部是个不规则形状，但我们知道它包围着几个已知长度的线段。
这时候，要是我们能发现其中两个直角三角形，它们共同的斜边是阴影局部的一边，要么它们的高相等、底相等，那就能直接套公式了。
比方说，三角形 ABC 和三角形 DEF，它们斜边重合，且对应直角边相等，那剩下的那个小三角形，面积就是 $frac{1}{2} times a times b$。
只要找到这两个数 $a$ 和 $b$，难题就解了。 有时候，阴影局部根本不是单一三角形，而是几个小块的组合。
这时候就要把图拆碎了。
比方说，中间一个大块是梯形，两边各一块三角形。先算梯形，上底 3，下底 5，高 4，那就是 $frac{(3+5) times 4}{2} = 16$。再算两边的三角形，底分别是 2 和 3，高都是 4，那就是 $4+6=10$。加起来是 26。
那原来那个大长方形是 $6 times 8 = 48$，减去空白局部也是 26，吻合。 实际上，这种题大量时候，都在考你对勾股定理的灵活运用。
有时候阴影局部看似挺大，实际上只是两个三角形重叠后剩下的局部。
这时候，就不要再死磕大长方形减空白，而是直接看阴影本身的组成局部。
比方说，阴影局部本身就是一个直角梯形，上底 4，下底 6，高 5。
那面积就是 $frac{(4+6) times 5}{2} = 25$。直接算出来最靠谱。 还有时候，题目里给的数据故意设陷阱，让你当作要算复杂的坐标公式，实际上只要抓住“直角”这个就行。
只要确定了两条边互相垂直，那就直接乘积除以 2。
不管这两条边在图里如何偏着，只要它们是直角，面积公式就不变。 举个极端的例子，要是阴影局部是一个钝角三角形，底是 10，高是 8，那面积就是 40。但要是它是两个直角三角形拼成的，一个是底 6 高 8，另一个底 4 高 6，拼在一起，那总底是 10，总高是 8，面积还是 40。神奇的是，甭管如何拼，只要底和高没变，面积就稳了。 故此，面对这种勾股定理求阴影面积的题目，心态要放平。
不要被图形的复杂吓倒，把它拆解成最根本的直角三角形。找到直角边，套用 $frac{1}{2}ab$，要么用大减小，要么用拼凑法。
只要掌握了勾股定理在直角关系里的威力，再复杂的图形也能活脱脱变成好办的加减乘除。最终算出数值，别忘了单位，别把平方当没单位了。 总而言之，这题的关键在于找直角，利用勾股定理算出隐含的长度，最终通过图形的加减，算出阴影的真面积。
这就够了，剩下的就是流畅地写出来。