刘徽证明勾股定理的方法-刘徽勾股定理证明法

刘徽那会儿才三十出头，拿着算筹在纸上翻来覆去，脑子里琢磨的未必是那种放之四海而皆准的公式，而是如何把一条斜线剪成两段，再塞进最原始的直角三角形里去。他也没搞啥宏大叙事，一说“勾股”，二说“知道”。他如何推出来的呢？是把那个直角三角形硬生生分为上下两局部，像切豆腐一样，把直角边压扁，把斜边压平，凑成一个长宽比特别好看的正方形。 你看这图，左边是个直角，右边也是个直角。刘徽这时候可没弄出“邻边”“对边”这种后面几十年才用的词儿，他叫那一段叫“股”，叫另一段叫“弦”。股就是那条短的直角边，弦就是那条斜着的那条边。他要是说“勾股定理”，那叫“勾股”，听着怪拗口，就连有点不雅。刘徽有一句名言说：“勾一，股三，弦四”，这实际上是后来勾三股四弦五的最早雏形，他当时证明的就是勾股数。他如何知道 3 和 4 能拼出 5 的？他凑出的并非数字，而是图形。他把图形切分成上下两块，下面那块是个小正方形，边长就是股；上面那块是个大正方形，边长就是弦。
这时候他还没能明确写出“弦的平方等于勾的平方加股数的平方”这句话，但当他把这两块拼起来，外面围成一个横着的长方形时，你会发现，这个大长方形的长是股加弦，宽是弦，里面的小正方形边长是勾。 这时候要是从上面那块大正方形里切下一个小三角形，把它的两条直角边分别标记为“股”和“勾”，切下的局部就是那个经典的直角三角形。刘徽把这条斜边标记为“弦”，他从这“弦”里切出来一块，再切出来一块，正好能拼成那个横着的长方形。
这时候他心里有数了：那个横着的长方形，一边是股加弦，另一边是弦，面积是（股加弦）乘以弦。 他接着想，这个大长方形里，除了左边那个直角三角形和右边那个倒置的直角三角形，中间还藏着一个小小的正方形，边长就是勾。中间那个小正方形的面积就是 $k$ 乘以 $k$，也就是 $k$ 的平方。
那剩下的局部呢？那是两个直角三角形，一个在左上，一个在右下。左边那个三角形，它的直角边分别是“勾”和“弦”；右边那个倒过来的三角形，它的直角边分别是“勾”和“弦”。
要是把它们加起来，正好等于大长方形的面积减去中间那个小正方形的面积。 这时候刘徽就启动计算了。假设勾是 3，弦是 4。
那股就是 3。左边那个三角形的直角边是 3 和 4，面积就是 $3 times 4 = 12$。右边那个倒置的三角形，直角边也是 3 和 4，面积也是 $3 times 4 = 12$。两个加起来是 24。中间的小正方形边长是 3，面积是 $3 times 3 = 9$。大长方形的长是 $3 + 4 = 7$，宽是 4。面积是 $7 times 4 = 28$。 等式就是：两个三角形面积加上小正方形面积，等于大长方形面积。也就是 $12 + 12 + 9 = 28$。两边全是实打实的数字，刘徽算了一算，$28$ 等于 $28$。他这一算，彻底坐稳了。他心里明白，只要勾和股是整数，弦就是勾的平方加上股数的平方。
不是为了找规律，而是为了验证这个几何图形的面积守恒。他把“弦”写成“勾”，把“勾”写成“股”，他就把那个不雅的名词给改了，这是学术上的严谨，也是为了掩盖公式里那两个不对称的“股”“弦”字眼，反正到了后来，公式里就把它们合并了，变成了“勾股”要么“平方”。 刘徽最了得的地方在于，他不仅得出了这个结论，还寻思了它的逆命题。他说：“勾股，本术也。”意思是，你知道了这三条边的关系，那三条边就能凑成一个直角三角形。他算出了勾股数的表，比如 3,4,5；6,8,10；5,12,13；就连 8,15,17。
那时候西方早就有毕达哥拉斯学派，也有毕达哥拉斯定理，但那是用代数符号硬拼凑的结局，全是字母。刘徽用的是纯几何，边长是整数，面积是整数，这种“算术几何”的完美结合，在当时简直是神迹。他把数学家和诗人、工匠结合在了一起，用算筹把逻辑化，让那个定理不仅存有于纸上，更存有于工匠们的尺规和算盘里。 你想想看，要是勾是 5，股是 12。
那弦就是 $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$。开根号是 13。
这时候你再拿尺子量一量，要么在纸上画一画，那个几何图形的面积居然彻底吻合。
这种美感，这种在严谨推导中流露出的和谐，正是刘徽最伟大的地方。他没有等到公式被正式命名为“勾股定理”，也没有等到教科书把它列为第一讲，他就已经把这个真理敲进了人心的数学逻辑里。 最终还得提一句，他当年用的那个“勾”，后来演变成了“勾股”里的“勾”，但最初他在证明时，习惯把短直角边叫“股”，长直角边叫“弦”，斜边叫“弦”。
这种称呼的纠结，恰恰反映了那个时代数学语言的迟钝与探索的热忱。刘徽没有用冰冷的符号去定义它，而是用那块块沉甸甸的算筹，用那个精确到小数点后一位的四位小数（别看那是后来才有的高阶数据，但他心里有这种刻度），一次次地推演，一次次地验证。当他在纸上写下那个等式时，他知道，只要这个数字是对的，那就是真理。
这种对真理近乎执拗的追求，才让后世那么喜爱用“刘徽证明”这三个字，去致敬那个在黑暗中点燃微光的人。