左行右列定理求逆-左行右列求逆定理

左行右列定理，说白了就是讲矩阵乘法如何变形的。大量老手刚启动学矩阵运算时，都会被这个定理搞晕，总认定它不靠谱，似的变来变去，算了。
实际上它只是说，当你把一个矩阵乘以它的转置矩阵时，结局会变成一个对称矩阵。
这玩意儿在工程里时常遇得上，比如信号处理、图像处理，就连是你刚拿到一个算法代码时，看到那一堆行和列交叉的地方，突然认定这玩意儿可能得用。 要说如何用，核心就一个字：“变”。原矩阵要是实对称的，那结局直接就是对称矩阵；要是非实对称的，那结局也是对称的，但那个对称矩阵里包含了原矩阵的信息，只是多了个交叉局部。
举个例子，咱拿个 $2 times 2$ 的矩阵做样本。原始矩阵 $A$ 是 $begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}$。它的转置矩阵 $A^T$ 就是 $begin{pmatrix} 1 & 3 \ 2 & 4 end{pmatrix}$。把它们相乘，算一下那 $1 times 1$ 的左上角元素，是 $1 times 1 + 2 times 2 = 5$；右下角的 $4 times 4$ 元素是 $3 times 3 + 4 times 4 = 25$；中间那些出于非对称抵消了要么加了，结局变成了 $1 times 2 + 2 times 3 = 8$ 这种形式。乘出来是 $begin{pmatrix} 5 & 8 \ 8 & 25 end{pmatrix}$，你看，这结局是对称的，彻底对得上定理。 大量人拿着这个定理去改代码的时候，好办犯个低级毛病，就是不爱动脑子去验证。
实际上啊，这个定理是个强约束。
要是深层神经网络层里的激活函数是非线性的，要么你的矩阵结构是特殊的稀疏矩阵，那乘出来的结局大约率不是对称的。
这时候别急着套用定理，得老老实实重新算一遍。有些时候，你会发现算出来的对称矩阵里，那个 $5$ 和 $25$ 实际上并不是最原始的数值，它们是被重组了的。
比如原矩阵左下那个 $3$，出于被转置了，跑到了右边，然后矩阵乘法运算，它和原来的 $4$ 配合，最终贡献了 $25$。
这说明啥？说明矩阵乘法确实是个挺奇妙的过程，它能把原本偏置分布的信息，硬生生挤到对角线上去。 在实际应用场景里，这个定理最让人眼前一亮的地方，往往是在做特征值分解要么做正交矩阵的时候。
要是你手里有个非对称矩阵，你非得求它的对称局部，要么求它的对称特征向量，这时候用这个定理能省不少事。比你硬啃矩阵乘法公式来的快多了。
比如你说，我想找这个矩阵的对称局部，直接取一半加一半就行了。
要么在做数据压缩的时候，要是数据本身是有某种对称性的，比如图片像素往往是对称的，要么信号是有特定对称性的，那这个定理就能帮你先简化一下矩阵，再算后面的变换，这样计算量能省一大截。 有时候你会认定这个定理就是个废话，这玩意儿忒好办了，连个新词也不用加个引号。
确实，有些初学者看了就忘。但在真正的工程落地时，它那个“对称矩阵”的结论才是真功夫。非对称矩阵乘以自己的转置，结局总得是那个对称的，这是铁律。
要是结局不对称，要么是你算错了，要么就是那个定理本身就不适用，要么是你选的矩阵结构忒特殊了，让结局意外地不对称。 再打个比方，假设你是做计算机视觉的，处理一张人脸图像。你一般会把图像转成矩阵，然后做一些变换。
要是你的变换矩阵本身就是对称的，那变换出来的结局，大量特征点自然会落在对称轴上，这样分析起来特别撇脱。
要是你的变换矩阵不对称，那变换后的图像，某些像素点可能会跑到对角线的左边，又跑到右边。
这时候，要是你想取某种对称性的特征，这个定理就是你的救命稻草。它能告诉你，不管原图不对称多了得，最终取的对称特征，一定是对称矩阵的。
这就把你从一堆乱七八糟的数值里，抽离出来一个纯粹的结构信息。 还有啊，有些时候它会让你形成误解，当作非对称矩阵乘转置一辈子能变成对称矩阵。
这实际上是错的。定理说的是：非对称矩阵乘转置，结局是一个对称矩阵。它没说结局里的非零元素可能全不对称。别看理论上非对称矩阵和转置乘积后，非零元素加起来一直对称的，但要是不看数值大小，只看结构，它确实是一个对称矩阵。
不过，别被这个结论误导，认定所有非对称矩阵都能省事变成对称矩阵。
实际上，非对称矩阵乘以转置后的对称矩阵，往往意味着原非对称矩阵里有大量“坏”的对角元，要么有大量交叉项正负抵消得挺了得。 故此啊，别总想着绕开这个定理去硬算。承认它好办点，承认它有力点。在写代码的时候，要是矩阵对称性不是你刻意追求的，那你先算个转置，算个积，看一眼结局是不是对称了。
要是不对称，再回头看看是不是哪儿错了，要么要不要改算法。
这玩意儿在数学课上是个死记硬背的知识点，但在实际干活里，它是那个能帮你从混沌数据里找到秩序感的工具。
说白了，就是这个定理告诉你，非对称矩阵乘转置，本质上就是在做“对称化”操作，只不过它可能有点笨，有时候还得自己手动把不对称的项修一修。