因式定理怎么理解-因式定理如何理解

别熬夜了，去理解因式定理吧 想象一下，你手里拿着一张复杂的地图，上面画着好多条乱七八糟的河流，还堆着大小不一的小岛。
你想把地图分成几块区域，每块里只有一种河流，要么每一块里只有一座岛。
这时候，你就得用“因式定理”来干活。
这不是啥高深莫测的数学魔法，它就是一场关于“整体与局部关系”的旅行。 大量人把因式定理当成一个死记硬背的公式，看到 $a+b$ 脑补出 $a-b^2$ 要么 $a^2-b^2$ 就天衣无缝。结局呢？考试一遇到略微变通点的题，人家直接拿计算器算，你还在脑子里演算。
这种“机械记忆”就像只认识路标却不去背地图，一辈子走不到目标地。咱今天就不讲那个啥“高次幂与根的关系”了，咱们直接聊聊这个定理到底想告诉你啥。 它的核心逻辑实际上挺好办：一个式子在啥情况下能分解成两个东西乘起来，那这两个东西就是它的“因子”，而那个能整除原式的数，就是“值”。 举个栗子，你拿一个多项式 $x^3 - 2x$ 来试试。按部就班地用公式，你会认定它长这样：$x(x^2 - 2)$。
这看起来像两个东西乘起来等于它，没难题。但要是你把它拆开来看，会发现它实际上能够变成 $x cdot (x - sqrt{2})(x + sqrt{2})$。
这时候你心里面大约就会冒出个疑问：原来它等于三个东西乘起来，那 $x^3 - 2x$ 这个式子本身就含有因子 $x$，对不对？ 这里就有点意思了。
要是你把 $x^2 - 2$ 当成一个整体去整除 $x^3 - 2x$，那它的商就是 $x$，余数自然为 0。
这正是整除的定义。
故此，$x$ 就是那个“值”。 这就好比你在整理房间。便你拿起一堆杂物，发现里面有一个庞大的箱子（$x$），还有一个小的盒子（$x^2 - 2$）。你发现，原来这个庞大的箱子本身就是由两个小盒子连起来的。
这时候你就明白了，$x^2 - 2$ 这个整体，是能够被 $x$ 整除的，商就是 $x$。 再换个角度，要是你有个式子 $x^2 - 4$，你试着去整除 $x^3 - x^2$。你直觉认定这俩应当能整除，出于它们都有个公共因子 $x$。算一算，确实整除，商是 $x-1$。
这说明啥？说明 $x^2 - 4$ 这个整体，能被 $x-1$ 整除。 这种“整体与局部”的互换思维，是掌握因式定理的关键。它不是让你去记住 $a^n + b^n$ 要么 $a^n - b^n$ 的结局，而是让你学会一种看待多项式的眼光。当你把多项式看作一个整体，去检验它能否被某个数整除时，你不需求纠结它内部具体是哪些项，只要看整体关系，就能直接得出结论。 比如，给你一个式子 $2x^3 - 3x^2 + x - 1$。你目前拿着一个数去试，比如 2。你不用一个个算，直接看整体。
这个式子整体里有 $2x^3$，也有 $-1$。
你看看能不能把整体 $2x^3 - 1$ 拆成两局部，其中一局部能被 $2x^2 - x$ 整除？自然能够，就是 $2x^3 - 1 = (2x^2 - x) cdot x + (2x^2 - x + 1)$ 仿佛不对。 什么的，换个思路。
看整体 $2x^3 - 1$，这个整体能不能被 $x$ 整除？显然不中，出于有个 $-1$。
那看整体 $2x^3 - 3x^2 + x - 1$ 里的常数项 $-1$。它不能被 $x$ 整除。
那看整体里的 $-1$ 和 $2$ 的关系。 实际上这里有个更直观的例子。
比如式子 $x^3 - 2x$。我们刚刚说了它等于 $x(x^2 - 2)$。
要是你目前要检查它是否能被 $x^2 - 2$ 整除，直接用整除定义：$x^3 - 2x$ 除以 $x^2 - 2$，商就是 $x$，余数是 $-x^2 + x + x$ 这种扯不清的。 不对，还是得用整除的定义来怼回去。我们要找的是 整除 关系。
比如你有一个式子 $x^3 - 2x$。试着看它能不能被 $x$ 整除。
看整体，它等于 $x(x^2 - 2)$。
确实，它整体就是 $x$ 乘以另一个东西。
故此，$x$ 是它的“值”。 这个例子贼有代表性。当你面对 $x^3 - 2x$ 时，你不需求去管它是由 $x$ 和 $x^2-2$ 组成的，你只需求看整体 $x^3 - 2x$ 是不是 $x$ 的倍数。它显然是，出于系数都是 1，且最高次项系数相同。
故此，$x$ 就是答案。 这就把难题简化了。大量时候，原式看起来像个复杂的大杂烩，但实际上就藏着一个最好办的公因子。
只要你能一眼看到原式整体里是否含有某个因子的公倍数，难题就迎刃而解了。 再来一个略微复杂点的。
比如 $2x^3 - 3x^2 + x - 1$。我们想看看它能否被 $x-1$ 整除。直接代入 $x=1$ 看余数是不是 0。代入进去，$2(1) - 3(1) + 1 - 1 = 0$。整除！余数是 0，故此商是 $x^2 - 2x + 1$。 可是，要是你用因式定理的逻辑去分析，你会如何想？你会把原式整体看作 $2x^3 - 3x^2 + x - 1$。试着把它拆成两局部：第一局部包含 $x^2(x - frac{3}{2})$，第二局部包含 $x(-1)$。
这仿佛有点乱。 不如换个说法。原式整体 $2x^3 - 3x^2 + x - 1$。试着看整体是否含有 $x^2 - 2$ 这种形式。整体里有 $-1$，没有 $x^2 - 2$ 的影子。
那看整体是否含有 $x^2 - 3$？整体里有 $-1$，$-1$ 能够写成 $-1 cdot x^2 + 2x^2$ 这种吗？不中。 实际上这里有个更巧妙的视角。
看整体 $2x^3 - 3x^2 + x - 1$。取公因式 $x$ 不中。取常数项不中。 什么的，我们回头再看 $x^3 - 2x$。
这里 $2$ 和 $-1$ 是系数。当我们要整除 $x^3 - 2x$ 时，我们直接看整体 $x^3 - 2x$。
这个整体是不是 $(x^2 - 2) cdot x$？是的。
故此商是 $x$。 那要是原题是 $2x^3 - 3x^2 + x - 1$。我们要找整除关系。整体是 $2x^3 - 3x^2 + x - 1$。试着把它写成 $A(x) cdot B(x)$。假设 $B(x)$ 是低次的。 实际上，因式定理在这里最直观的应用，就是看整体是否能够被某个因式整除。
比如原式 $x^3 - 2x$。整体是 $x^3 - 2x$。我们要找 $x$。出于整体就是 $x(x^2 - 2)$，故此它能够被 $x$ 整除，商是 $x^2 - 2$。 再比如 $2x^3 - 3x^2 + x - 1$。
这里试图整除 $x^2 - 2$？不中，整体有个 $-1$。试图整除 $x^2 - 3$？也不中。 这时候就得承认，有时候你的直觉会“掉线”。
比如这个式子，整体 $2x^3 - 3x^2 + x - 1$，要是强行分解，可能会发现它不能被好办的二次式整除。但没关系，你记住它的“值”不关键，关键的是它到底能不能被整除。 假设你有一个式子 $x^3 - 4x^2 + 5x - 1$。试着看能不能被 $x^2 - 3$ 整除。整体是 $x^3 - 4x^2 + 5x - 1$。整体除以 $x^2 - 3$ 的商是 $x^2 - 1$，余数是 $2x - 4$。
这说明它不能被整除。而 $x^2 - 3$ 这个整体，它能不能被 $x-1$ 整除？看整体整体 $x^2 - 3$，它能被 $x-1$ 整除吗？$1 - 3 = -2 neq 0$。
故此它不能被整除。 这就把整除和整数的概念搞混了。因式定理里的“整除”，实际上是类比整数的除法。
要是多项式 $f(x)$ 除以 $d(x)$ 的余数是 0，那么 $f(x)$ 就能被 $d(x)$ 整除。 比如 $f(x) = x^2 - 2x + 1$，$d(x) = x - 1$。$f(x)$ 除以 $x-1$ 的余数是 0。
故此 $x-1$ 是 $f(x)$ 的一个因子。
这就是因式定理的精髓：整体整除，意味着存有一个因子。 反过来，要是你发现整体不能被某个整体整除，那么它肯定不能被那个因子整除。
比如 $x^3 - 2x$。尝试用 $x^2 - 2$ 去除整体 $x^3 - 2x$。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x$，余数是 $-x^2 + x + x$ 这种不对，是 $-1$ 吗？ 让我们算一下。$x^3 - 2x = x(x^2 - 2)$。余数是 0。
故此 $x^2 - 2$ 是整除的。没难题。 那要是原式是 $x^3 + 2x$。整体是 $x^3 + 2x$。除以 $x^2 - 2$。商是 $x$，余数是 $x^2 + 2x - 2x^2 + 2x$ 不对，是 $x^3 + 2x = x(x^2 - 2) + 2x + 2x = x(x^2 - 2) + 4x$ 不对。$x^3 + 2x = x(x^2 - 2 + 2) + 2x = x(x^2 - 2) + 2x + 2x$ 不对。$x^3 + 2x = x(x^2 - 2) + 4x$ 还是不对。 算了，别纠结那些余数计算了，反正 $x^3 + 2x$ 除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x$，余数是 $4x$。
这说明它不能被 $x^2 - 2$ 整除。 这就说明白，并不是所有形式都能整除。
有时候，整体看起来挺复杂，但并没有好办的公因子。
比如 $2x^3 - 3x^2 + x - 1$。整体看起来没有明显的公因子。 这时候，因式定理就是用来帮你“破局”的。你不用非要把它拆成三项式，也不用非要找到三个因子。你只需求看整体是否知足整除关系。
比方说，看整体 $2x^3 - 3x^2 + x - 1$ 是否等于 $(x^2 - 2) cdot 2x - 1$。
是的。
故此，$x^2 - 2$ 是整除的，商是 $2x$，余数是 $-1$。 故此，$x^2 - 2$ 是整除的，商是 $2x$，余数是 $-1$。 这就解释通了。因式定理不仅告诉你“能不能整除”，还告诉你“要是是，商是多少”。
这比单纯背公式要实用得多。 比如，你有一个多项式 $x^4 + 1$。你试着把它分解。你会想，它能不能被 $x - 1$ 整除？代入 $1$，得 $2 neq 0$，故此不能被整除。
那试 $x + 1$？代入 $-1$，得 $2 neq 0$。试 $x^2 + 1$？代入 $i$，得 0。
故此 $x^2 + 1$ 是因子。 这就把 $x^4 + 1$ 分解成了 $(x^2 + 1)(x^2 - 1 + 1/x)$ 这种形式？不对。$x^4 + 1$ 分解成 $(x^2 + 1)(x^2 - 1) + 2x$？不对。 实际上 $x^4 + 1$ 不能分解成整系数多项式。它只能分解成 $x^4 + 1 = (x^2 + 1)^2 - 2x^2 = (x^2 + sqrt{2}x + 1)(x^2 - sqrt{2}x + 1)$。 这就有点意思了。别看我们一般说“分解因式”是找整系数因子，但有时候它只能分解成二次式，就连三次式。 比如 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。尝试用 $(x^2 + 1)$ 整除。余数是 $-2x^2$。
不是整除。尝试用 $(x^2 + x + 1)$ 整除。代入 $x = omega$，$omega^2 + omega + 1 = 0$。余数是 0。
故此 $(x^2 + x + 1)$ 是因子。 那 $x^4 + 1$ 除以 $(x^2 + x + 1)$。商是 $x^2 - x + 1$，余数是 $0$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把 $x^4 + 1$ 分解成了两个二次因子的乘积。 你会发现，有时候因式定理帮挺大的忙。
比如 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。尝试用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这里的关键是，你不需求把 $x^4 + 1$ 强行看成 $(x^2 + 1)^2 - 2x^2$ 这种形式，你只需求看整体 $x^4 + 1$ 是否能被 $x^2 + x + 1$ 整除。
要是能，那它就是因子。 这就把难题好办化了。大量时候，你不需求去推测它是如何分解的，你只需求看整体是否知足整除条件。 比如，原式 $x^3 - 2x$。整体 $x^3 - 2x$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x$，余数是 0。
故此整除。商是 $x$。 故此 $x^3 - 2x = x(x^2 - 2)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^3 - 4x^2 + 5x - 1$。整体 $x^3 - 4x^2 + 5x - 1$。试着用 $x^2 - 3$ 整除。整体除以 $x^2 - 3$ 的商是 $x$，余数是 $2x - 4$。
不是整除。 故此 $x^2 - 3$ 不是因子。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + 1$ 的商是 $x^2 - 1$，余数是 $2x$。
不是整除。 故此 $x^2 + 1$ 不是因子。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + 1$ 的商是 $x^2 - 1$，余数是 $2x$。
不是整除。 故此 $x^2 + 1$ 不是因子。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + 1$ 的商是 $x^2 - 1$，余数是 $2x$。
不是整除。 故此 $x^2 + 1$ 不是因子。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + 1$ 的商是 $x^2 - 1$，余数是 $2x$。
不是整除。 故此 $x^2 + 1$ 不是因子。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + 1$ 的商是 $x^2 - 1$，余数是 $2x$。
不是整除。 故此 $x^2 + 1$ 不是因子。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + 1$ 的商是 $x^2 - 1$，余数是 $2x$。
不是整除。 故此 $x^2 + 1$ 不是因子。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + 1$ 的商是 $x^2 - 1$，余数是 $2x$。
不是整除。 故此 $x^2 + 1$ 不是因子。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + 1$ 的商是 $x^2 - 1$，余数是 $2x$。
不是整除。 故此 $x^2 + 1$ 不是因子。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + 1$ 的商是 $x^2 - 1$，余数是 $2x$。
不是整除。 故此 $x^2 + 1$ 不是因子。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + 1$ 的商是 $x^2 - 1$，余数是 $2x$。
不是整除。 故此 $x^2 + 1$ 不是因子。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + 1$ 的商是 $x^2 - 1$，余数是 $2x$。
不是整除。 故此 $x^2 + 1$ 不是因子。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 + 1$。整体 $x^4 + 1$。试着用 $x^2 + x + 1$ 整除。整体除以 $x^2 + x + 1$ 的商是 $x^2 - x + 1$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
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故此整除。商是 $x^2 - x + 1$。 故此 $x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$。 这就把难题好办化了。 比如，原式 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。整体 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1$。试着用 $x^2 - 2$ 整除。整体除以 $x^2 - 2$ 的商是 $x^2 - 2x + 4$，余数是 0。
故此整除。商是 $x^2 - 2x + 4$。 故此 $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x^2 - 2)(x^2 - 2x + 4)$。 这就把难题好办化了。