柯西中值定理的证明-柯西中值定理证法

柯西中值定理的直觉版 兄弟，咱们把这个定理别讲成那种死板的逻辑题。先看看定义，$f(x)$ 要在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 上可导。
这实际上就两个大要求：第一，别动，连续就是别跳；第二，疤不能长，可导就是得光滑。柯西中值定理就是讲，这两条要是都知足，那在这段区间上，函数那个“平均变化率”绝对赶不上它“瞬时变化率”的平均值。
这听起来挺反常识，出于一般我们说的是拉格朗日中值定理，讲局部，而柯西是讲整体。 先回顾一下拉格朗日。它的证明实际上挺经典，就是利用一个著名的几何性质：在横轴上取中点，把区间切成两半，函数图像和它在两个端点连成的包络线围成的面积，肯定大于函数本身和其中垂线围成的面积。
这利用了面积不等式。
要是是柯西呢？咱们把区间切成 $n$ 份，每一小段近似看作一个梯形要么三角形。
这时候函数图像和那 $n$ 条切线围成的总面积，应当大于函数图像和其中垂线围成的面积。 这就引出了那个核心的不等式：$sum_{i=1}^n (y_i - y_0) > 0$。
为啥？出于在区间上连续且可导，意味着函数不会在谷底突然掉下去然后又立马爬上来，那样中间总会有点“超重”。我们定义一个函数 $F(t) = frac{1}{n} sum_{i=1}^n (f(x_i) - f(t))$。
要是 $t$ 取中点，$F(t)$ 显然大于 0，出于每一小段都比中点高。
要是 $F(t)$ 恒大于 0，那意味着整个区间上 $f(x) ge f(t)$，但这在 $[a,b]$ 上取不到，矛盾。
故此 $F(t)$ 务必取到 0。 这时候就要启动折腾参数了。设 $m = frac{b-a}{2}$，$n = frac{b-a}{epsilon}$，然后定义个新的函数 $G(t) = frac{1}{m} sum_{k=1}^n (f(x_k) - f(t)) - (f(b) - f(a))$。
要是 $G(t)$ 恒大于 0，那 $f(x) - f(a)$ 就要比 $f(b) - f(a)$ 大得多，也就是 $f(x) ge f(a) + (f(b) - f(a))$，这显然不可能。
故此 $G(t)$ 务必取到 0。 目前咱们得解方程 $G(t) = 0$。两边与此同时乘 $n m$，展开一看，$n$ 个 $f(x_k)$ 的系数加上了，$f(t)$ 的系数是 $-n$，再加上 $f(b) - f(a)$ 这一整块。
这看起来像个高次多项式方程。根据代数根本定理，n 次方程起码有一个复根。
这里我们要找的是实根，出于 $a$ 和 $b$ 是实数。
故此 $t$ 一定在 $[a,b]$ 里。 既然 $t$ 在区间里，那么当 $t=a$ 时，$f(x)$ 的系数和 $f(b)$，刚好抵消了，剩下的是 $f(t)$ 和 $f(b)$ 的差，在 $t=a$ 时是 0。当 $t=b$ 时，同理也是 0。
既然两端都是 0，并且中间有个根 $t$，那在 $t$ 的邻域里肯定有极值点。 这时候咱们得看看极值点的位置。在 $t$ 的某个邻域内，根据泰勒展开要么拉格朗日中值定理，函数值的变化量大约是 $f'(t)(t-a)$ 这种形式。
要是 $f'(t)$ 和 $f'(b)$ 同号，那极值点就只能在区间内部要么端点。但柯西定理神奇的在于，它保证了就算 $f'(t)$ 和 $f'(b)$ 符号反之，只要 $n$ 充足大，$n$ 个函数值的平均效应，加上 $f(b)$ 的权重，依然能把 $f(t)$ 推向极小值。 这就涉及到一个动态的博弈。想象 $f'(t)$ 是个变动的量，它一直在 $f'(b)$ 附近徘徊。
要是 $f'(t)$ 和 $f'(b)$ 同号，那 $f(t) - f(b)$ 就一直大于 0，这就对了。但要是它们异号呢？这就对了，这正好证明 $f'(t)$ 务必穿过 $f'(b)$ 的某条线。 这时候咱们得把 $t$ 和 $b$ 的关系搞清楚了。设 $lambda = frac{b-a}{f'(b)}$。当 $t$ 在区间内时，$f'(t) - f'(b) ge 0$。
这意味着 $f'(t)$ 没有超过 $f'(b)$，故此 $t$ 不可能跑到 $a$ 那边去，要么 $t$ 跑到 $b$ 那边去。
这仿佛有点绕。咱们换个角度，定义 $H(t) = f(b) - f(t)$。
要是 $t$ 是极值点，那 $H(t)$ 就在 $t$ 附近最小。 由此推导出一个关键的不等式：要是 $x le t le y$，那么 $frac{f(y) - f(x)}{y - x} ge frac{f(t - (y-t)) - f(t)}{y - t}$。
这实际上是个“曲率”的不等式。左边是区间平均分，右边是局部平均分。柯西定理告诉我们，只要把区间分得充足细，左边就等于右边。 咱们再来个具体的例子，看看数据的跳动。设 $f(x) = x^3 - 3x$。在区间 $[-2, 2]$ 上。$f'(-2) = 4$, $f'(2) = -4$。
这里导数连续，在 $(-2, 2)$ 内可导。取 $a=-2, b=2$。函数在 $x=0$ 处有极小值 -2。 要是是分段情况，比如 $x_0 = -2$。
要是是 $x_1 = 0$。
那么 $f(x_0) = 8$, $f(x_1) = 0$。分式组里有一项是 $frac{0-8}{0-(-2)} = -4$。公式右边是 $f'(-2) = 4$。
显然 $-4 < 4$，不等式 $0-8 ge 4 times (-2)$ 成立。 再取一个更极端的情况，$x_0 = -2.1$。$f(-2.1) = -9.261$。$x_1 = 0$。分式 $frac{0 - (-9.261)}{0 - (-2.1)} approx 4.41$。右边是 $f'(-2.1) = 3 times (-2.1)^2 - 3 = 13.23 - 3 = 10.23$。
这里 $4.41 ge 10.23$ 不成立了？
什么的，我用的数据可能有点偏差，重新算一下 $x_0 = -2.1$ 的情况。$f(x) = x^3 - 3x$。$f'(-2.1) = 3(-2.1)^2 - 3 = 13.23 - 3 = 10.23$。$x_0$ 处的切线斜率比 $f'(b)$ 大大量，这符合 $t$ 靠近 $a$ 时的情况。 再试一个 $x_0 = 1.9$。$f(1.9) = 1.9^3 - 3 times 1.9 = 6.859 - 5.7 = 1.159$。$x_1 = 0$。分式 $frac{0 - 1.159}{0 - 1.9} = frac{-1.159}{-1.9} approx 0.61$。$f'(1.9) = 3(1.9)^2 - 3 = 10.83 - 3 = 7.83$。
这里 $0.61 ge 7.83$ 显然不成立。 这说明我刚刚的理解要么算例有难题，还是重新理一下逻辑。柯西定理的核心在于，当 $t$ 充分靠近 $a$ 时，$frac{f(x_n) - f(x_0)}{x_n - x_0}$ 会无限接近 $f'(x_0)$ 吗？不对，是当 $n to infty$ 时，$x_n$ 趋向于 $b$，$x_0$ 趋向于 $a$。 让我们回到 $G(t) = 0$ 的方程。$f(b) - f(a) = f(t - (y-t)) - f(t)$。令 $delta = y-t$。则 $f(b) - f(a) = f(t-delta) - f(t)$。根据泰勒展开，$f(t-delta) approx f(t) - delta f'(t) + frac{delta^2}{2} f''(t)$。
故此 $f(b) - f(a) approx delta f'(t) - frac{delta^2}{2} f''(t)$。两边除以 $delta$，得 $frac{f(b) - f(a)}{delta} approx f'(t) - frac{delta}{2} f''(t)$。 出于 $delta = y - t$，故此 $frac{f(b) - f(a)}{y - t} = f'(t) - frac{y - t}{2} f''(t)$。移项得 $frac{f(b) - f(a)}{y - t} + frac{y - t}{2} f''(t) = f'(t)$。整理一下： $frac{f(b) - f(a) - f'(t)(y - t)}{y - t} + frac{1}{2} f''(t)(y - t) = 0$。 去掉分母，拿到 $2(y - t)(f(b) - f(a) - f'(t)(y - t)) + f''(t)(y - t)^2 = 0$。 出于 $y - t ne 0$，约去一次，得 $f(b) - f(a) - f'(t)(y - t) = frac{1}{2} f''(t)(y - t)^2$。 代入 $y = a$，则 $y - t = a - t$。 故此 $f(b) - f(a) - f'(t)(a - t) = frac{1}{2} f''(t)(a - t)^2$。 整理得 $f(b) - f(a) = f'(t)(a - t) + frac{1}{2} f''(t)(a - t)^2$。 这才是柯西定理的实质形式。
要是 $f'(t)$ 和 $f'(b)$ 同号，那么 $f'(t)$ 不能比 $f'(b)$ 小忒多，以至于 $f(b) - f(a)$ 务必等于 $f'(t)(a - t)$ 加上一个正数（出于右边第二项 $ge 0$，假设二阶导数非负）。但这会害得右边大于 $f'(t)(a - t)$，而 $f'(t)(a - t) = f'(t)a - f'(t)t = f'(t)(a) - f'(t)t$。
要是 $t$ 是中点，$f'(t)a - f'(t)t = (f'(a) + f'(b))/2 times a - (f'(a) + f'(b))/2 times b$。
这仿佛有点复杂。 好办说，要是 $t$ 是中点，$a - t = -delta$。右边变成 $f'(t)(-delta) + frac{1}{2} f''(t) delta^2$。左边是 $f'(b) - f'(a)$。
故此 $f'(b) - f'(a) = -f'(t)delta + frac{1}{2} f''(t) delta^2$。 要是 $f'(t) approx f'(b)$，那么 $f'(b) - f'(a) approx -f'(b)delta + frac{1}{2} f''(b) delta^2$。 出于 $delta = (b - a)/2$，故此 $f'(b) - f'(a) approx f'(b) frac{b - a}{2} + frac{1}{2} f''(b) frac{(b - a)^2}{4}$。 这会害得 $f'(a) approx f'(b) - f'(b) frac{b - a}{2} = f'(b) frac{a - b}{2}$。 也就是 $f'(a) approx -frac{b - a}{2} f'(b)$。 要是 $f'(a)$ 和 $f'(b)$ 同号，而 $a > b$，这就矛盾了。
故此 $f'(t)$ 务必使得 $f'(t)$ 和 $f'(b)$ 异号，要么起码 $f'(t)$ 充足大。 不管怎么着，这个推导过程展示了：只要 $n$ 充足大，总存有一个 $t$，使得方程成立。而 $t$ 的存有性保证了极值点。至于 $f'(t)$ 和 $f'(b)$ 的关系，实际上就是通过 $f(b) - f(a)$ 的表达式强制 $f'(t)$ 不能在某些特定位置取值。 故此，柯西中值定理的证明并不是像教科书那样把 $n$ 个变量放进去解方程，而是通过构造一个 $n$ 次多项式，利用其根的存有性和极值的性质，反向推导出 $f'(t)$ 务必知足的某种关系。
这个关系最终体目前 $f(b) - f(a) = f'(t)(a - t) + frac{1}{2} f''(t)(a - t)^2$。当 $n to infty$ 时，$(y - t)$ 和 $(x_n - x_0)$ 的比值趋于 1，这意味着 $y$ 和 $x$ 实际上就是区间端点附近的点，而 $t$ 就是那个极值点。 这就解释了为啥柯西定理比拉格朗日定理强。拉格朗日定理只要求 $f'(t)$ 等于某一点的值，而柯西定理要求 $f'(t)$ 务必使得那个“平均斜率”的公式成立。在证明过程中，我们发现 $f'(t)$ 实际上务必等于 $f'(b)$ 加上一个修正项，这个修正项只跟二阶导数相关。
要是二阶导数存有且非负，那么 $f'(t)$ 就不能“跳”得忒远，务必保持在 $f'(b)$ 附近。 最终，当 $n to infty$ 时，$x_0$ 和 $x_n$ 收敛到 $a$ 和 $b$，而 $t$ 收敛到极值点。
此时，平均变化率 $frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 就等于 $f'(t)$。证明白平均变化率等于导数。
这实际上就是柯西中值定理的直观含义，只不过它是通过“极限”这个概念来实现的，而不是直接定义导数。
故此，归根结底，柯西定理就是导数定义的一个有力佐证，它告诉我们，只要函数光滑，平均变化率就务必等于某一点的瞬时变化率。