定积分中值定理的方法-定积分中值定理法

例3：存在性证明

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $displaystyle int_0^1 f(x),dx = 0$。证明：存在 $xi in (0,1)$，使得 $f(xi) + f(xi^2) = 0$。

思路：构造辅助函数 $F(x) = int_0^x f(t),dt$，则 $F(0)=0$, $F(1)=0$。由罗尔定理，$exists,cin(0,1)$，使 $F'(c)=0$，即 $f(c)=0$。但这仅得一个零点，无法直接推出结论。

巧妙构造：定义新函数：

考虑积分：

对第二项换元：令 $u = x^2$，则 $x = sqrt{u}$，$dx = dfrac{1}{2sqrt{u}},du$，得：

因此：

由于 $1 + dfrac{1}{2sqrt{u}} > 0$ 在 $(0,1]$ 上恒成立，且 $f(u)$ 连续，若 $f(u)$ 不恒为零，则该积分符号取决于 $f(u)$ 的正负分布。但已知 $int_0^1 f(u),du = 0$，无法直接判断。

修正方案：改用介值定理思想。定义：

则 $h(0)=0$, $h(1)=0$。考虑 $k(x) = h(x) - h(sqrt{x})$，则 $k(0)=0$, $k(1)=0$。由罗尔定理，$exists,xiin(0,1)$，使 $k'(xi)=0$。

计算导数：

令 $k'(xi)=0$，得：

仍不匹配。回到原题，更简洁的解法：

标准解法：定义 $F(x) = int_0^x f(t),dt$，则 $F(0)=F(1)=0$。考虑：

则 $G(0)=0$, $G(1)=F(1)-F(1)=0$。由罗尔定理，$exists,xiin(0,1)$，使 $G'(xi)=0$。

求导：

即 $f(xi) = 2xi f(xi^2)$。仍非目标式。

最终方案：直接构造 $g(x) = f(x) + f(sqrt{x}) cdot dfrac{1}{2sqrt{x}}$，则：

（换元 $u=sqrt{x}$）

因 $g(x)$ 连续，且积分零，由介值定理，存在 $xi$ 使 $g(xi)=0$，即：

若题目要求 $f(xi) + f(xi^2)=0$，则需额外条件。本题可能有笔误，常见题型为 $f(xi) + 2xi f(xi^2)=0$ 或 $f(xi) = f(eta)$ 形式。此处为教学示例，重点展示定理应用思路。

例4：不等式证明

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，$f(a)=f(b)=0$，且 $f''(x) > 0$。证明：

思路：由 $f''(x)>0$ 知 $f(x)$ 为凸函数，图像下凸。又 $f(a)=f(b)=0$，故 $f(x) < 0$ 在 $(a,b)$ 内（否则与凸性矛盾）。设 $M = max |f'(x)| = max |f'(x)|$。

由拉格朗日中值定理，$exists,cin(a,b)$，使 $f'(c) = dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0$。由凸性，$f'(x)$ 单调增，故 $f'(x) < 0$（$x 0$（$x>c$），$f(x)$ 在 $c$ 处取最小值。

对 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 分别应用积分中值定理：

因 $f(x)<0$，积分值为负。利用 $|f(x)| = |f(x) - f(c)| = |f'(eta)(x-c)| le M |x-c|$，得：

当 $c = dfrac{a+b}{2}$ 时，上式取最小值 $dfrac{M(b-a)^2}{4}$，但需更紧界。实际上，对 $f(x) = - (x-a)(b-x)$（满足条件），有：

故 $left| int_a^b f(x),dx right| = dfrac{(b-a)^3}{6} = dfrac{(b-a)^2}{8} cdot dfrac{4(b-a)}{3} < dfrac{(b-a)^2}{8} cdot dfrac{b-a}{2} cdot 2 = cdots$，需重新计算。

正确结论应为 $left| int_a^b f(x),dx right| < dfrac{(b-a)^3}{8} cdot max |f''(x)|$（由泰勒展开），本题可能条件有误。但核心思想是：结合积分中值定理与导数估计，可完成不等式证明。

例5：物理意义应用

质点沿直线运动，速度函数 $v(t) = sin t + cos t$（单位：m/s），求 $tin[0, pi/2]$ 内的平均速度，并说明物理含义。

解：平均速度定义为总位移除以时间：

由定积分中值定理的方法-定积分中值定理法，存在 $xi in (0, pi/2)$，使 $v(xi) = dfrac{4}{pi}$，即：

该 $xi$ 表示：在运动过程中，某一瞬间的瞬时速度恰好等于整个时间段的平均速度。这是定积分中值定理的方法-定积分中值定理法在物理学中的直接体现。

例6：数值积分误差估计

用矩形法近似 $int_a^b f(x),dx$，取中点 $c = dfrac{a+b}{2}$，则近似值为 $f(c)(b-a)$。误差为：

若 $f''(x)$ 连续，则由泰勒展开可得 $|E| le dfrac{(b-a)^3}{24} max |f''(x)|$。但若仅知 $f$ 连续，由积分中值定理，存在 $xi$ 使 $E = 0$？不！积分中值定理保证存在 $c$ 使等式成立，但不指定 $c$ 为中点。

因此，若用中点近似，误差不一定为零。例如 $f(x)=x^2$ 在 $[0,2]$，中点 $c=1$，$f(1)(2-0)=2$，而真实积分 $dfrac{8}{3} approx 2.666$，误差 $-dfrac{2}{3} ne 0$。积分中值定理保证存在某个 $capprox1.1547$ 使误差为零，但非任意 $c$。