证明圆周角定理-证明圆周角定理

圆周角定理不是那种生硬背诵的公式，它是古人看着月亮绕地球转，在纸上乱画圈圈时悟出来的一个“偷懒”法则。 想象你正站在一条大河边，河对岸有个圆形的堤坝（假设是圆），河面上有一只小船。你在岸边引了一条线对着对岸的堤坝，只要这个线的两端都在对岸的堤面上，那小船上所有乘客瞧向对岸的视线，不管他是眼大还是眼小，看到的都是同一个角度大小。 这就好比你在圆周上找三个点，比如 A、B、C。
要是你从点 C 出发，往 A 的方向对射一条线，再从点 B 往 A 的方向对射一条线，这两条线就交于 C 点。
这时候，C 点对着 A-B 这段弧所张出的角度，甭管你如何转动，只要你一直盯着那一段弧看，它一辈子是那个固定的度数。 这就好比你站在圆周上，拿着量角器去量 A 和 B 之间的弧度。甭管你走到 A 点还是走到 B 点，你量出来的角都是一样的。
这个角的大小彻底取决于 A 和 B 之间那一小段弧的长度。
这就叫同弧所对的圆周角相等。 要是你再来三个点，比如 D，你想看看 A、B、D 这三个点能不能组成一个三角形。
要是你从 D 点往 A 点引线，再从 B 点往 A 点引线，这两条线相交于 C 点，这时候 C 点就算出来了。你会发现，不管你是站在圆周上，还是站在圆心，只要视线一直锁住那一段弧，角度都没变。 那要是视线不锁住这段弧呢？比如你要看 A 和 B 之间的另一段弧，要么说 A、B 和 C 三点构成的那个大角。
这时候角度就变了。
这就好比两个人从圆周上两条不同的弦出发，他们看到的角大小是不一样的。 举个具体的例子吧。假设这是一个半径为 1 的圆，圆心是 O。我们设定 A 点在圆周的正上方 90 度，B 点在正下方 270 度（也就是正左方）。
那么弦 AB 把圆分成了两局部。
要是我们取圆周上任意一点 C，比如正右方 0 度的位置。连接 A 和 C，再连接 B 和 C，这时候角 ACB 就是对着上面那小段弧。
这个角的大小是 45 度。 目前换个位置，从圆心的位置 O 向 AB 连线，这时候视角就是 90 度。你会发现，站在圆周上看是 45 度，驻在圆心看是 90 度。
这个差值就是半圆的角度，也就是 180 度。 这就引出了定理里最核心的结论：圆周角等于同弧所对的圆心角的一半。 你看，圆心角是个大张牙舞爪的，它张着半个圆周，那是 180 度。圆周角就站在那儿，它只能张半个角，也就是 90 度。
为啥？出于圆周角定理就是告诉我们要把那个“大”倍的圆心角“掰”成两半，一半留给圆周角。 再举个例子，要是圆心角是 120 度，那么对着它的圆周角就是 60 度。
这就好比你站在圆周上，对着一个张着 120 度的扇形，你看的角就是 60 度。
反之，要是对着一个张着 60 度的扇形，你看的角就是 30 度。
这就像家长对小孩讲话，家长开口是 60 度，小孩听的是 30 度；家长开口是 120 度，小孩听的是 60 度。 自然，还有更特别的例子。
要是圆周角对着的是半圆，那这个角度肯定是 90 度。
这在几何里是个铁律。你能够拿弦直直地搭在圆弧上，那条弦把圆弧分成了两个半圆，对着半圆的角一辈子是直角。
这就像两个人背靠背站在圆周上，不管他们往哪边看，只要看的是以直线为直径的圆，角度就是 90 度。 还有啊，要是圆心角对着的是优弧，也就是超过半圆的那一大段弧。
比如圆心角是 200 度。
这时候圆周角对着的是剩下的劣弧。你能够想象一下，要是圆心角转了一圈变成 360 度，那是 360 度的圆心角。对应的圆周角就是 180 度，也就是平角。
这说明圆周角定理在这里是双向通用的，不管是大角还是小角，都是跟对应的圆心角有这种“半倍”要么“加倍”的关系。 你能够试着画一个图来验证这个“半倍”的感觉。画一个圆，随意画一条弦，把它分成两段小弧。在弦的另一端画一条线连回圆心，你会看到那个圆心角是 180 度。
这时候，你在圆周上对着这段小弧的角，就是 90 度。
要是你再画一条线，让圆心角变成 120 度，圆周角自然就变成 60 度了。 这个定理之故此好用，就是出于它把圆周角这种“难搞”的角变得好办了。
那会儿你可能得凭感觉要么挺复杂的计算来定这个角度，目前只需求看一眼哪位张着的大，哪位张得小，然后打个“半”要么“倍”的算数，瞬间就知道角度是多少。 实际上圆周角定理在古代就已经被发现了。中国古代的《九章算术》里就有类似的记载，别看那时候叫“幂术”，意思是一种运算方式，但本质上就是研究角和弧的关系。
后来西方人把这个规律发扬光大，称之为圆周角定理。 最终总结一下，圆周角定理就是说：站在圆周上，对着同一段弧，不管你是圆心还是其他点，看到的角大小都取决于这段弧。
要是圆心角是 90 度，圆周角就是 45 度。
要是圆心角是 180 度，圆周角就是 90 度。
要是圆心角是 200 度，圆周角就是 100 度。
这个规律好办又神奇，只要记住“半倍”的关系，几何题里的角就一点都不难搞了。