二维卷积定理-二维卷积定理

二维卷积定理这东西，听着挺高大上，一讲起来反倒像是在菜市场讨价还价。
那会儿我还总认定卷积就是两个函数一乘就完了，后来才知道那是骗人的。别急，咱们慢慢拆解，看看这玩意儿到底是个啥。 拆开来看，卷积实际上就是跟积分要么求和搞了一样的道理。好办来说，就是两个函数重叠在一起，算它们的某个乘积，然后从两头往中间累加。就像两个信号一起拖进一个框里，框不动的时候算乘积，框动了就移步，每一步都乘一次，最终把所有乘积加起来。
这逻辑实际上挺直观的，就是求和。 大量初学者一上来就搞混了卷积和滑动窗口的概念。卷积是个数学过程，而滑动窗口是把它用在图像处理里的具体工具。大量人当作卷积就是滑动窗口的直接结局，实际上不然。滑动窗口是卷积的一个应用场景，卷积是背后的数学本质。
没有卷积这个数学定义，滑动窗口这玩意儿就跟那根绷了半截的弦没啥关系。 在二维情况下，卷积和线性卷积的区别往往让人晕头转向。
这时候得有个“马后炮”的概念，叫有限卷积。
要是你把信号的长度无限拉长，连续的卷积就变成离散的、有限的那个窗口求和了。好办说，就是信号变长，卷积就从连续的积分变成了离散的求和。
这玩意儿在图像卷积里特别常见，特别是处理那些有边界要么有限长度的数据时。 举个具体的例子来说明这玩意儿咋算。假设你有一张矩形图像，左边一列全是黑色，右边一列全是白色，中间是个斜线。
那要是左边和右边之间有个中间区域，卷积的结局肯定是个三阶的梯形，从黑斜白，斜线是中间最亮的那一段。但要是是两个无限长的斜坡信号，比如左边一直往上走，右边一直往下走，那卷积结局就是两条平行线，中间重叠的局部加起来就是一个梯形块。 再拿两个三角形信号来比。左边是个左尖右平的三角，右边是个右尖左平的三角。卷积的时候，左边那局部慢慢滑那会儿，乘积的峰值会在某个工夫点，然后慢慢衰减。两个峰值相乘，再累加起来，结局就是一个中间高两边低的峭形。而两个梯形相乘，结局中间那一段要明显宽一点，两边衰减得慢一点。
这种差别在图像处理里特关键，比如做边缘检测要么特征取，细节差别能拍板算法的精度。 关于卷积核，也就是那个用来去噪要么做滤波的数组，它的形状和大小跟被卷积的图像没关系。传统的卷积核一般是方形的，但目前的深度学习里，卷积核时常做成椭圆、圆形，就连不规则的形状。
这玩意儿实际上是为了让信号处理更加灵活。
比如椭圆形的卷积核就能更好地捕捉长条形的纹理，不规则的卷积核则能适应各种各样的形状。 在数学表达上，二维卷积本质上就是一个二维的求和。公式看起来像个积分，但在实际工程里，它变成了离散的循环求和。
这个求和的维度跟图像尺寸、卷积核尺寸都相关。
要是图像是二维的，卷积核也是二维的，那么卷积结局就一定是二维的了。
要是卷积核是一维的，那就只能算一维卷积，别看二维卷积理论上也能退化成一维，但在大多数场景下，二维卷积的处理效率更高，计算量也更大。 有时候你会想，为啥不用一维卷积去处理二维图像？理论上说能够，但实际用起来往往费事。一维卷积只能算一层，要做多层就得一层层塞进去，并且结局也是二维的，还得再给一维卷积包一层，层层嵌套，效率低不说，还好办出错。二维卷积直接就能搞定，结局也是二维的，处理起来顺溜。
这也解释了为啥目前的深度学习网络里，卷积操作占比那么大，哪怕是一层也是两个维度在混。 最终总结一下，二维卷积就是两个信号重叠累加，数学上是个二维求和。它和滑动窗口是两码事，卷积是基础，窗口是应用。信号变长就变成有限卷积，也就是求和。卷积核形状挺灵活，图像尺寸和卷积核尺寸都影响结局。一个梯形卷积出梯形，两个斜坡卷积出峭形，细节拍板一切。目前的卷积核越来越复杂，形状也五花八门，都是为了适应更多样化的任务。
这玩意儿别看看着复杂，但拆开慢慢看，实际上没啥大不了的，就是个求和罢了。