【例1】基础巩固型:斜面滑块问题
质量为 2 kg 的小物块,从倾角 θ = 37° 的光滑斜面顶端由静止滑下,斜面长 5 m,底端与粗糙水平面平滑连接。水平面上动摩擦因数 μ = 0.4。求:(1) 物块滑至斜面底端时的速度;(2) 在水平面上滑行的距离。
(取 g = 10 m/s²,sin37° = 0.6,cos37° = 0.8)
【解析】分步求解,先斜面后水平
(1) 斜面阶段:只受重力与支持力,支持力不做功,只有重力做功。
高度 h = L·sin37° = 5 × 0.6 = 3 m
重力做功 WG = mgh = 2 × 10 × 3 = 60 J
初动能为 0,末动能为 ½mv²
由动能定理:60 = ½ × 2 × v² − 0 ⇒ v = √60 ≈ 7.75 m/s
(2) 水平面阶段:初速度 v = 7.75 m/s,末速度为 0;受重力、支持力、滑动摩擦力。
摩擦力 f = μmg = 0.4 × 2 × 10 = 8 N
设滑行距离为 s,摩擦力做功 Wf = −f·s = −8s
动能变化:0 − ½ × 2 × (7.75)² = −60 J
由动能定理:−8s = −60 ⇒ s = 7.5 m
答案:(1) 7.75 m/s;(2) 7.5 m
拓展:若斜面粗糙(μ₁ = 0.2),则斜面阶段摩擦力做功 Wf1 = −μ₁mg·L·cosθ = −0.2 × 20 × 5 × 0.8 = −16 J
总功 W总 = 60 − 16 = 44 J = ½mv² ⇒ v = √44 ≈ 6.63 m/s
【例2】中档提升型:弹簧—滑块系统
如图,质量为 m 的物块压缩弹簧(劲度系数 k)至 A 点,弹簧弹性势能为 Ep。释放后物块被弹出,经粗糙水平面(μ)到达 B 点时弹簧恢复原长,继续滑行 s 后停下。求:(1) 物块经过 B 点时的速度;(2) 弹簧初始压缩量 x。
【解析】整体法避免分段
(1) A → 停止全过程:初动能为 0,末动能为 0;
做功:弹簧弹力做功(弹性势能释放)W弹 = Ep;
摩擦力做功:−μmg·(x + s)(压缩量 x 为 A 到 B 的距离);
动能变化:0 − 0 = 0
故 Ep − μmg(x + s) = 0 ⇒ x = (Ep/μmg) − s
(2) A → B 过程:初动能 0,末动能 ½mv²;
弹力做功:W弹 = Ep(弹簧恢复原长,势能全转化为动能);
摩擦力做功:−μmgx;
动能定理:Ep − μmgx = ½mv²
代入 x 表达式,可得 v = √[2μgs](结果与 Ep 无关,体现能量转化本质)
【例3】高考压轴型:复合场中的圆周运动
如图,竖直平面内固定一半径为 R 的光滑圆环,A 为最低点,B 为最高点。质量为 m、电荷量为 +q 的小球穿在环上,空间存在水平向右的匀强电场 E。小球从 A 点以初速度 v₀ 向上运动,恰能到达 B 点。求:(1) 初速度 v₀;(2) 小球在 B 点对环的压力。
【解析】电场力做功 + 重力做功 = 动能变化
(1) A → B 过程:
重力做功:WG = −mg·2R(上升 2R 高度);
电场力做功:WE = qE·2R(水平位移为直径 2R,电场力与位移同向);
动能变化:0 − ½mv₀²;
由动能定理:qE·2R − 2mgR = −½mv₀²
解得:v₀ = √[2(2mgR − 2qER)/m] = 2√[R(mg − qE)/m]
注意:题设“恰能到达 B 点”意味着 B 点速度 vB ≥ 0,此处取 vB = 0 为临界条件。
(2) B 点受力分析:重力 mg ↓,电场力 qE →,环的支持力 N ↓(指向圆心);
合力提供向心力:N + mg + qE = mvB²/R = 0 ⇒ N = −(mg + qE)
负号表示支持力方向与假设相反,即环对小球的作用力向上;小球对环的压力大小为 mg + qE,方向向下。