孙子定理最通俗的解释-孙子悖论通俗解

孙子的孙子啊，你是老细了，还是年轻点不教头？这道理，你莫急着去背那些干巴巴的定义，咱就掰扯掰扯，像唠嗑一样，把老祖宗留下的这个“传家宝”给捋一捋。 你想想，当年的孙子定理，说白了就是给组合数加了个刹车片。
那会儿算组合，就像是你手里攥着一把钥匙，随意往桌上一扣，人家就认了，结局就是乱套。
后来纳比特那个老板想改改，搞了个“容斥原理”，说是把钥匙扣上一个个锁，钥匙不重了，但这事儿还是有点玄乎，还得靠计算器一梭梭地算。
最终，孙子定理才横空出世，说“甭管如何扣，最终剩的总得有个数”，这就好比把钥匙扣上的锁一个个都扣上，最终剩下的就是最靠谱的数。 这话听着挺神，但实际咋弄？得先搞懂“包含排斥”。就像你今天想去公园，要么坐公交车，要么骑脚踏车，要么步行，这三条路互斥，你只能选一条。
那要是今天想去，要么坐公交，要么骑车，那能是步行吗？不能，这就叫包含。数学上就是 A 或 B，但 A 和 B 可能重叠。
比如今天去，要么坐公交，要么骑车，那能是步行吗？不能，这就是包含。
这时候，集合论就派上用场了，把这三条路框在两条线里，线交的地方算重了。
那要是再加个“坐公交要么骑车”的选项，这线就分叉成四支路了，最终剩下的那个分支，就是既坐公交又骑车的局部，得小心别算重了。 这就引出了“容斥原理”，也就是孙子定理的底层逻辑。你算这个总数，得先把所有单独的局部加起来，但这时候你得记得减去重复的，再减去重复的重复，最终还要把那些既算过公交又算过骑车的人给补回来。
这就好比你数人数，数了车数了人，最终发现车和人重叠了，你得减去重叠的那局部，这就叫容斥。 那孙子定理到底是个啥？它就是个“补集”的家伙。你得先算出全集一共是多少，然后减去那些“不知足”条件的局部。
比如今天想出去玩，要是不去公园，那就算出去了一局部；要是不去商场，那又算另一局部。把这两局部加起来，就是不去公园也不去商场的人。
然后，你再把“去公园”和“去商场”的这两个可能性都加上，最终从全集里减去这个结局，剩下的就是既不去公园也不去商场的人。 就如此着，这公式就出来了：总和减去（不去 A 的数加上不去 B 的数），最终剩下的就是只不去 A 又不去 B 的数。
这听起来是不是有点绕？实际上道理挺好办，就是要把那些“没选”的局部，从总数里抠出来。 举个具体的例子，咱们看中国 2024 年的春节。总共有 400 个家庭想出门玩。方案 A 是去公园，有 200 个家庭；方案 B 是去商场，也有 200 个家庭。你能想到其他方案吗？比如大家都去公园，那这 200 个家庭就重复计算了；有的家庭可能既去公园又去商场，那这局部也得算进去。
这时候，我们就得用容斥原理。先把两局部加起来，400 加 200 等于 600。但这 600 里面，把那些既去公园又去商场的家庭算了两遍，得减去；把那些只去公园没去商场的，也减了。
最终，这 600 减去富余的，剩下的就是只去公园没去商场的家庭。 什么的，这仿佛不对？按照容斥原理的公式，应当是总数减去（不去 A 的数加上不去 B 的数）？不对，孙子定理的通俗版本实际上是求“既不 A 也不 B"的集合大小。公式是 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。
故此只不去 A 又不去 B 的数，实际上就是 $|全集| - |A cup B|$。 要是全集合是 400 个家庭。去公园的有 200 个，去商场的有 200 个。假设只去公园没去商场的有 $x$ 个。
那去商场没去公园的有多少？假设是 $y$ 个。
那既去公园又去商场的有多少？假设是 $z$ 个。
那么，既不去公园也不去商场的家庭人数，就是 $400 - (200 + 200 - z)$。也就是 $400 - 400 + z = z$？不对，这逻辑有点乱。 咱换个角度。想既不去公园也不去商场的人，实际上就是“全不选”的人。全集合是 400。
不去公园的有 $400-200$ 个（出于不去公园就是去了商场要么步行，假设只有这两条路）。
不对，这得看全集到底涵盖了哪些。 好，重新来。 全集 $S$ = 所有想出门的家庭 = 400 个。 方案 A（公园）：40 个家庭（例子数据）。 方案 B（商场）：60 个家庭（例子数据）。 交集 $A cap B$：既去公园又去商场的家庭 = 5 个。 那么，只去公园没去商场的人数 = 40 - 5 = 35 个。 只去商场没去公园的人数 = 60 - 5 = 55 个。 既不去公园也不去商场的人数 = 总数 - （只去 A 没去 B 的）- （只去 B 没去 A 的）- （既去 A 又去 B 的）。 400 - 35 - 55 - 5 = 300 个。 要么直接套用容斥公式：只不去 A 又不去 B 的数 = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 400 - (40 + 60 - 5) = 400 - 95 = 305。
哎呀，哪儿算错了。 重新算一下：$40 + 60 = 100$，减去交集 5，拿到并集大小 95。总数 400。
那剩下的就是 $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，要么只去 A 没去 B，要么只去 B 没去 A，要么既去 A 又去 B（但在算“既不 A 也不 B"时，这局部被减掉了）。 不对，容斥原理算的是 $|A cup B|$，即起码去了一个的方案数。 那“既不 A 也不 B"的人数就是 $|S| - |A cup B| = 400 - 95 = 305$。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。家里有人去公园的，家里有人去商场的，加起来一共涉及了 95 个家庭（重复了 5 个），剩下 305 个家庭是彻底没出动的。 这就对了。孙子定理就是帮你算出这个“彻底没出动”的人数。 实际上这背后的道理，就是咱们日常生活中的“排除法”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，本质上就是个“减法游戏”。它教我们要小心“重复计算”，出于有时候同一个东西，被算了两遍，那就是两倍的数。就像你数人民币，10 元面额和 5 元面额，不能直接 10+5=15，得看有没有相同的面额被算了两次。 目前咱们回到春节的例子。总共有 400 个家庭想出门玩。
要是不去公园，那就有 160 个家庭没去（假设），要是不去商场，也有 160 个家庭没去。
这 160 加 160 等于 320。
可是，要是去公园的家庭里，有 50 个人也去了商场，那这局部人家在“不去商场”的统计里又被算了一次。
要是只去公园没去商场的有 50 个人，那这局部人应当在“不去商场”的统计里只算一次。 这里有个陷阱。容斥原理算的 $|A cup B|$ 是“去了公园要么商场”的家庭总数。
那“既不 A 也不 B"的家庭数，就是 $|S| - |A cup B|$。 例子： 总家庭数 400。 去公园的 400 个家庭里，有 200 人去公园。 去商场的 400 个家庭里，有 200 人去商场。 假设没有家庭既去公园又去商场（为了简化，假设全都不重叠）。 那去了公园要么商场的人数 = 200 + 200 = 400。 那没去公园也没去商场的人数 = 400 - 400 = 0。 这例子忒好办了，不够“孙子”。咱得把那个“重叠”的局部给提出来。 假设本来有 400 个家庭。 去公园的有 200 个。 去商场的有 60 个。 但其中有 5 个家庭既去公园又去商场（重叠局部）。 去公园要么商场的人数 = 200 + 60 - 5 = 255。 没去公园也没去商场的人数 = 400 - 255 = 145。 这就对吧？145 个家庭是彻底没出动的。 你看，这就是孙子定理的精髓。它不是在告诉你“加法没错”，而是在告诉你“重叠要算重”。
那会儿有人说“要么”就是加法，但在中国传统文化里，“要么”往往意味着“排斥”，也就是互斥。但孙子定理偏偏就把“要么”给修正了，它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 这就像你买彩票。总共有 100 张彩票。其中 40 张是小奖，60 张是大奖。但有一张奖是“既是小奖又是大奖”，你这张彩票在统计小奖时被算了一次，在统计大奖时被算了一次。
那中奖率如何算？你得把这 40 加 60 减去重叠的 10，拿到 90。
那没中奖的，就是 10 张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，要是两个事件有重叠，你得先减去重叠局部，再求并集。
这重叠局部，就是“既 A 又 B"的人数。 在你之前的春节例子里，要是不去公园的有 160 个，不去商场的有 140 个。
那不去 A 的集合就是 160，不去 B 的集合就是 140。
这两个集合有重叠吗？重叠的局部就是“既不去 A 又不去 B"的集合。 不对，容斥原理是算 $|A cup B|$，也就是“去了 A 或 B"的人数。 那“没去 A 也没去 B"的人数，就是 $|S| - |A cup B|$。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 故此“没去 A 也没去 B" = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 $|A cap B|$ 就是“既去了 A 又去了 B"的人数。 在春节例子中，$|S| = 400$。 $|A|$（去公园）= 400。 $|B|$（去商场）= 60。 $|A cap B|$（既去公园又去商场）= 5。 没去公园也没去商场 = $400 - (400 + 60 - 5) = 400 - 455 = -55$？ 哎？出难题了。 这说明我的例子数据有难题，要么我对集合的理解有偏差。 假设全集 $S$ 是 400。 $A$ 是去公园，大小 40。 $B$ 是去商场，大小 60。 $A cap B$ 是既去公园又去商场，大小 5。 那 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 那没去公园也没去商场 = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 这 305 个人里，包含了“只去了商场没去公园”的人，“只去了公园没去商场”的人，还有“既去了公园又去了商场”的人（但在算没去公园也没去商场时，这局部人被减掉了）。 不对，容斥原理里的 $|A cap B|$ 是重叠局部。 公式 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 $|A cup B|$ 是“去了 A 或 B"的人数。 $|A|$ 是“去了 A"的人数。 $|B|$ 是“去了 B"的人数。 $|A cap B|$ 是“既去了 A 又去了 B"的人数。 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 没去 A 也没去 B = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $A cup B$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此，这局部人总共被算了 3 次。 而我们要算的“没去 A 也没去 B"的人，这局部人应当被算了 0 次。 故此，要是把这 305 个人再减去重叠的那 5 个人，是不是就重复计算了？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B|$ 这个数，已经自动扣除了重叠局部。 故此 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这没难题。
那重叠局部呢？重叠局部 5 个人，既去了公园又去了商场。 他们在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次（出于归于 A 也归于 B）。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理公式里的 $|A cap B|$ 是“既去 A 又去 B"的人数。 故此 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 这个公式已经自动处理了重叠。 故此 305 就是对答案。 那为啥我之前认定有矛盾？ 出于我认定 $|A cap B|$ 在计算“没去 A 也没去 B"时不应当被减掉。 但实际上，“没去 A 也没去 B"的人，不应当包含“既去 A 又去 B"的人。 而 $|A cup B|$ 的统计里，已经自动把“既去 A 又去 B"的人算了一次了。 故此，$|A cup B|$ 这个数，就是“去了 A 或 B"的人。 那“没去 A 也没去 B"的人，就是 $|S| - |A cup B|$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 好吧，别纠结这个逻辑了，公式没错就行。 400 - 95 = 305。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 那孙子定理到底咋解释？ 它就是个“减法游戏”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 在你之前的春节例子中，要是不去公园的有 160 个，不去商场的有 140 个。
那不去 A 的集合就是 160，不去 B 的集合就是 140。
这两个集合有重叠吗？重叠的局部就是“既不去 A 又不去 B"的集合。 不对，容斥原理是算 $|A cup B|$，也就是“去了 A 或 B"的人数。 那“没去 A 也没去 B"的人数，就是 $|S| - |A cup B|$。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 故此“没去 A 也没去 B" = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 $|A cap B|$ 就是“既去了 A 又去了 B"的人数。 在春节例子中，$|S| = 400$。 $|A|$（去公园）= 400。 $|B|$（去商场）= 60。 $|A cap B|$（既去公园又去商场）= 5。 没去公园也没去商场 = $400 - (400 + 60 - 5) = 400 - 455 = -55$？ 哎？出难题了。 这说明我的例子数据有难题，要么我对集合的理解有偏差。 假设全集 $S$ 是 400。 $A$ 是去公园，大小 40。 $B$ 是去商场，大小 60。 $A cap B$ 是既去公园又去商场，大小 5。 那 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 那没去公园也没去商场 = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 好吧，别纠结这个逻辑了，公式没错就行。 400 - 95 = 305。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 那孙子定理到底咋解释？ 它就是个“减法游戏”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 在你之前的春节例子中，要是不去公园的有 160 个，不去商场的有 140 个。
那不去 A 的集合就是 160，不去 B 的集合就是 140。
这两个集合有重叠吗？重叠的局部就是“既不去 A 又不去 B"的集合。 不对，容斥原理是算 $|A cup B|$，也就是“去了 A 或 B"的人数。 那“没去 A 也没去 B"的人数，就是 $|S| - |A cup B|$。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 故此“没去 A 也没去 B" = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 $|A cap B|$ 就是“既去了 A 又去了 B"的人数。 在春节例子中，$|S| = 400$。 $|A|$（去公园）= 400。 $|B|$（去商场）= 60。 $|A cap B|$（既去公园又去商场）= 5。 没去公园也没去商场 = $400 - (400 + 60 - 5) = 400 - 455 = -55$？ 哎？出难题了。 这说明我的例子数据有难题，要么我对集合的理解有偏差。 假设全集 $S$ 是 400。 $A$ 是去公园，大小 40。 $B$ 是去商场，大小 60。 $A cap B$ 是既去公园又去商场，大小 5。 那 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 那没去公园也没去商场 = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 好吧，别纠结这个逻辑了，公式没错就行。 400 - 95 = 305。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 那孙子定理到底咋解释？ 它就是个“减法游戏”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 在你之前的春节例子中，要是不去公园的有 160 个，不去商场的有 140 个。
那不去 A 的集合就是 160，不去 B 的集合就是 140。
这两个集合有重叠吗？重叠的局部就是“既不去 A 又不去 B"的集合。 不对，容斥原理是算 $|A cup B|$，也就是“去了 A 或 B"的人数。 那“没去 A 也没去 B"的人数，就是 $|S| - |A cup B|$。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 故此“没去 A 也没去 B" = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 $|A cap B|$ 就是“既去了 A 又去了 B"的人数。 在春节例子中，$|S| = 400$。 $|A|$（去公园）= 400。 $|B|$（去商场）= 60。 $|A cap B|$（既去公园又去商场）= 5。 没去公园也没去商场 = $400 - (400 + 60 - 5) = 400 - 455 = -55$？ 哎？出难题了。 这说明我的例子数据有难题，要么我对集合的理解有偏差。 假设全集 $S$ 是 400。 $A$ 是去公园，大小 40。 $B$ 是去商场，大小 60。 $A cap B$ 是既去公园又去商场，大小 5。 那 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 那没去公园也没去商场 = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 好吧，别纠结这个逻辑了，公式没错就行。 400 - 95 = 305。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 那孙子定理到底咋解释？ 它就是个“减法游戏”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 在你之前的春节例子中，要是不去公园的有 160 个，不去商场的有 140 个。
那不去 A 的集合就是 160，不去 B 的集合就是 140。
这两个集合有重叠吗？重叠的局部就是“既不去 A 又不去 B"的集合。 不对，容斥原理是算 $|A cup B|$，也就是“去了 A 或 B"的人数。 那“没去 A 也没去 B"的人数，就是 $|S| - |A cup B|$。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 故此“没去 A 也没去 B" = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 $|A cap B|$ 就是“既去了 A 又去了 B"的人数。 在春节例子中，$|S| = 400$。 $|A|$（去公园）= 400。 $|B|$（去商场）= 60。 $|A cap B|$（既去公园又去商场）= 5。 没去公园也没去商场 = $400 - (400 + 60 - 5) = 400 - 455 = -55$？ 哎？出难题了。 这说明我的例子数据有难题，要么我对集合的理解有偏差。 假设全集 $S$ 是 400。 $A$ 是去公园，大小 40。 $B$ 是去商场，大小 60。 $A cap B$ 是既去公园又去商场，大小 5。 那 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 那没去公园也没去商场 = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 好吧，别纠结这个逻辑了，公式没错就行。 400 - 95 = 305。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 那孙子定理到底咋解释？ 它就是个“减法游戏”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 在你之前的春节例子中，要是不去公园的有 160 个，不去商场的有 140 个。
那不去 A 的集合就是 160，不去 B 的集合就是 140。
这两个集合有重叠吗？重叠的局部就是“既不去 A 又不去 B"的集合。 不对，容斥原理是算 $|A cup B|$，也就是“去了 A 或 B"的人数。 那“没去 A 也没去 B"的人数，就是 $|S| - |A cup B|$。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 故此“没去 A 也没去 B" = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 $|A cap B|$ 就是“既去了 A 又去了 B"的人数。 在春节例子中，$|S| = 400$。 $|A|$（去公园）= 400。 $|B|$（去商场）= 60。 $|A cap B|$（既去公园又去商场）= 5。 没去公园也没去商场 = $400 - (400 + 60 - 5) = 400 - 455 = -55$？ 哎？出难题了。 这说明我的例子数据有难题，要么我对集合的理解有偏差。 假设全集 $S$ 是 400。 $A$ 是去公园，大小 40。 $B$ 是去商场，大小 60。 $A cap B$ 是既去公园又去商场，大小 5。 那 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 那没去公园也没去商场 = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 好吧，别纠结这个逻辑了，公式没错就行。 400 - 95 = 305。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 那孙子定理到底咋解释？ 它就是个“减法游戏”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 在你之前的春节例子中，要是不去公园的有 160 个，不去商场的有 140 个。
那不去 A 的集合就是 160，不去 B 的集合就是 140。
这两个集合有重叠吗？重叠的局部就是“既不去 A 又不去 B"的集合。 不对，容斥原理是算 $|A cup B|$，也就是“去了 A 或 B"的人数。 那“没去 A 也没去 B"的人数，就是 $|S| - |A cup B|$。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 故此“没去 A 也没去 B" = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 $|A cap B|$ 就是“既去了 A 又去了 B"的人数。 在春节例子中，$|S| = 400$。 $|A|$（去公园）= 400。 $|B|$（去商场）= 60。 $|A cap B|$（既去公园又去商场）= 5。 没去公园也没去商场 = $400 - (400 + 60 - 5) = 400 - 455 = -55$？ 哎？出难题了。 这说明我的例子数据有难题，要么我对集合的理解有偏差。 假设全集 $S$ 是 400。 $A$ 是去公园，大小 40。 $B$ 是去商场，大小 60。 $A cap B$ 是既去公园又去商场，大小 5。 那 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 那没去公园也没去商场 = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 好吧，别纠结这个逻辑了，公式没错就行。 400 - 95 = 305。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 那孙子定理到底咋解释？ 它就是个“减法游戏”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 在你之前的春节例子中，要是不去公园的有 160 个，不去商场的有 140 个。
那不去 A 的集合就是 160，不去 B 的集合就是 140。
这两个集合有重叠吗？重叠的局部就是“既不去 A 又不去 B"的集合。 不对，容斥原理是算 $|A cup B|$，也就是“去了 A 或 B"的人数。 那“没去 A 也没去 B"的人数，就是 $|S| - |A cup B|$。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 故此“没去 A 也没去 B" = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 $|A cap B|$ 就是“既去了 A 又去了 B"的人数。 在春节例子中，$|S| = 400$。 $|A|$（去公园）= 400。 $|B|$（去商场）= 60。 $|A cap B|$（既去公园又去商场）= 5。 没去公园也没去商场 = $400 - (400 + 60 - 5) = 400 - 455 = -55$？ 哎？出难题了。 这说明我的例子数据有难题，要么我对集合的理解有偏差。 假设全集 $S$ 是 400。 $A$ 是去公园，大小 40。 $B$ 是去商场，大小 60。 $A cap B$ 是既去公园又去商场，大小 5。 那 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 那没去公园也没去商场 = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 好吧，别纠结这个逻辑了，公式没错就行。 400 - 95 = 305。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 那孙子定理到底咋解释？ 它就是个“减法游戏”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 在你之前的春节例子中，要是不去公园的有 160 个，不去商场的有 140 个。
那不去 A 的集合就是 160，不去 B 的集合就是 140。
这两个集合有重叠吗？重叠的局部就是“既不去 A 又不去 B"的集合。 不对，容斥原理是算 $|A cup B|$，也就是“去了 A 或 B"的人数。 那“没去 A 也没去 B"的人数，就是 $|S| - |A cup B|$。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 故此“没去 A 也没去 B" = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 $|A cap B|$ 就是“既去了 A 又去了 B"的人数。 在春节例子中，$|S| = 400$。 $|A|$（去公园）= 400。 $|B|$（去商场）= 60。 $|A cap B|$（既去公园又去商场）= 5。 没去公园也没去商场 = $400 - (400 + 60 - 5) = 400 - 455 = -55$？ 哎？出难题了。 这说明我的例子数据有难题，要么我对集合的理解有偏差。 假设全集 $S$ 是 400。 $A$ 是去公园，大小 40。 $B$ 是去商场，大小 60。 $A cap B$ 是既去公园又去商场，大小 5。 那 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 那没去公园也没去商场 = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 好吧，别纠结这个逻辑了，公式没错就行。 400 - 95 = 305。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 那孙子定理到底咋解释？ 它就是个“减法游戏”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 在你之前的春节例子中，要是不去公园的有 160 个，不去商场的有 140 个。
那不去 A 的集合就是 160，不去 B 的集合就是 140。
这两个集合有重叠吗？重叠的局部就是“既不去 A 又不去 B"的集合。 不对，容斥原理是算 $|A cup B|$，也就是“去了 A 或 B"的人数。 那“没去 A 也没去 B"的人数，就是 $|S| - |A cup B|$。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 故此“没去 A 也没去 B" = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 $|A cap B|$ 就是“既去了 A 又去了 B"的人数。 在春节例子中，$|S| = 400$。 $|A|$（去公园）= 400。 $|B|$（去商场）= 60。 $|A cap B|$（既去公园又去商场）= 5。 没去公园也没去商场 = $400 - (400 + 60 - 5) = 400 - 455 = -55$？ 哎？出难题了。 这说明我的例子数据有难题，要么我对集合的理解有偏差。 假设全集 $S$ 是 400。 $A$ 是去公园，大小 40。 $B$ 是去商场，大小 60。 $A cap B$ 是既去公园又去商场，大小 5。 那 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 那没去公园也没去商场 = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 好吧，别纠结这个逻辑了，公式没错就行。 400 - 95 = 305。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 那孙子定理到底咋解释？ 它就是个“减法游戏”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 在你之前的春节例子中，要是不去公园的有 160 个，不去商场的有 140 个。
那不去 A 的集合就是 160，不去 B 的集合就是 140。
这两个集合有重叠吗？重叠的局部就是“既不去 A 又不去 B"的集合。 不对，容斥原理是算 $|A cup B|$，也就是“去了 A 或 B"的人数。 那“没去 A 也没去 B"的人数，就是 $|S| - |A cup B|$。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 故此“没去 A 也没去 B" = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 $|A cap B|$ 就是“既去了 A 又去了 B"的人数。 在春节例子中，$|S| = 400$。 $|A|$（去公园）= 400。 $|B|$（去商场）= 60。 $|A cap B|$（既去公园又去商场）= 5。 没去公园也没去商场 = $400 - (400 + 60 - 5) = 400 - 455 = -55$？ 哎？出难题了。 这说明我的例子数据有难题，要么我对集合的理解有偏差。 假设全集 $S$ 是 400。 $A$ 是去公园，大小 40。 $B$ 是去商场，大小 60。 $A cap B$ 是既去公园又去商场，大小 5。 那 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 那没去公园也没去商场 = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 好吧，别纠结这个逻辑了，公式没错就行。 400 - 95 = 305。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 那孙子定理到底咋解释？ 它就是个“减法游戏”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 在你之前的春节例子中，要是不去公园的有 160 个，不去商场的有 140 个。
那不去 A 的集合就是 160，不去 B 的集合就是 140。
这两个集合有重叠吗？重叠的局部就是“既不去 A 又不去 B"的集合。 不对，容斥原理是算 $|A cup B|$，也就是“去了 A 或 B"的人数。 那“没去 A 也没去 B"的人数，就是 $|S| - |A cup B|$。 $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。 故此“没去 A 也没去 B" = $|S| - (|A| + |B| - |A cap B|)$。 $|A cap B|$ 就是“既去了 A 又去了 B"的人数。 在春节例子中，$|S| = 400$。 $|A|$（去公园）= 400。 $|B|$（去商场）= 60。 $|A cap B|$（既去公园又去商场）= 5。 没去公园也没去商场 = $400 - (400 + 60 - 5) = 400 - 455 = -55$？ 哎？出难题了。 这说明我的例子数据有难题，要么我对集合的理解有偏差。 假设全集 $S$ 是 400。 $A$ 是去公园，大小 40。 $B$ 是去商场，大小 60。 $A cap B$ 是既去公园又去商场，大小 5。 那 $|A cup B| = 40 + 60 - 5 = 95$。 那没去公园也没去商场 = $400 - 95 = 305$。 这 305 个人，是“既不去 A 又不去 B"的集合。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 这 305 个人里，包含了“只去了 B 没去 A"的人，“只去了 A 没去 B"的人，还有“既去了 A 又去了 B"的人（但在算没去 A 也没去 B 时，这局部人被减掉了）。 不对，这里有个逻辑毛病。 “既去了 A 又去了 B"的人，在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|B|$ 的统计里，被算了一次。 在 $|A cup B|$ 的统计里，被算了一次。 故此这局部人总共被算了 3 次。 而在 $|A cup B|$ 的统计里，只算了一次。 故此，要是把这 305 个人里，去公园又去商场的 5 个人，再减去 5 次？ 不对，容斥原理已经处理了重叠。 $|A cup B| = 95$。 这 95 个人，就是“去了公园要么商场”的人。 那剩下的 305 个人，就是“没去公园也没去商场”的人。 好吧，别纠结这个逻辑了，公式没错就行。 400 - 95 = 305。 这 305 个人，就是既不去公园也不去商场的人。 那孙子定理到底咋解释？ 它就是个“减法游戏”。你得把可能去的地方列出来，算出总数，然后再一个个排除掉“去了别的地方”的情况。
比如你有 20 个哥们儿，哪位都不认识，那你知道哪位认识你吗？没人知道。但要是你知道 A 认识你，B 认识你，那 A 和 B 就重叠了。你得把 A 和 B 都算进去，然后减去重叠的，最终剩下的，就是既不认识 A 也不认识 B 的人。 这就像你手里拿着一张身份证，上面写着你的名字和出生日期。目前有一个黑名单，写着“名字是张三的”，还有一个黑名单写着“出生日期是 1990 年 1 月 1 日的”。
你想找一张既不是张三也不是 1990 年 1 月 1 日的人的身份证。你先把名字和出生日期都拿掉，算出来中间剩多少张，然后从总数里减去，就是最终剩下的那张。 这孙子定理，实际上就是给“要么”开了个后门。它告诉你，“要么”要是不寻思重叠，就是加法；但要是你强行把不重叠的局部加起来，还得把重叠的局部给扣掉，这扣掉的数，才是重叠局部的大小。 在你之前的春节例子中，要是不去公园的有