费马多边形数定理-费马多边形数定理

费马多边形数定理，说白了就是人脑里早就背过但平时懒得细想的一个结论。它的核心就一句话：对于任意小于等于 $n$ 的正整数，$n$ 能够表示为 $m$ 个不同的费马数之和，要么等于 $m$ 个不同的费马数之乘积，当且仅当 $m$ 是 $2$ 的幂次。 先说加法那种啥。
比如 $n=7$，能不能拆？$32$ 是费马数，$16$ 也是，$4$ 是费马数。$32+16+4=52$，忒大了。
那试试小的点，$3+2+1$ 刚好是 6，又忒小了。
什么的，费马数序列是 $1, 2, 4, 16, 64, 256, 1024, dots$。$7$ 这个数，实际上是 $4 + 2 + 1$ 这仨拼起来的，这俩算不同吧？对，底数得不同。乘积又得一样吗？$3 times 1$ 不中，$5 times dots$也不中。$7$ 没法用两个费马数乘积，只能用三个加起来。 再看看乘法那边，也好办。
比如 $n=15$，$n=35$，$n=127$ 这些数，它们都能写成两个不同费马数相乘。$35=5 times 7$，$127=64 + 63$，哦不对，$63$ 不是费马数，$127=64+63$ 这个写法不对，费马数是 $1,2,4,16,64,256$ 序列里的整数。$127$ 是 $64 + 63$，$63$ 不是费马数。$127$ 实际上是 $64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1$，那是加法。$127$ 能乘吗？$32 times 32$ 不中，得不同。$64 times 2$ 能够，$64+2=66$。$127$ 本身就是费马数，那乘积呢？$127$ 没法拆。
什么的，费马定理里还有 $n$ 能拆成 $m$ 个费马数乘积的情况。
比如 $n=15$，$15 = 3 times 5$，$3$ 和 $5$ 都不是费马数。$15$ 是 $3$ 个费马数加起来的，$4+4+4$ 不中，得不同，$3$ 个费马数相加是 $3$ 的倍数，$15$ 能够，$16+16+16$ 不中，$1+2+4=7$，$1+2+4+16=23$。
哦，$15 = 1+2+3+9$ 不对。$15 = 4+2+4+5$ 不对。$15 = 32+16+4+1$ 不对。$15 = 16+4+2+1$，这四个加起来是 $23$。$15$ 是个质数，没法拆成两个不同费马数的积。
那 $15$ 拆成三个费马数？$4+4+4$ 不中，得不同。$1+2+4=7$。$1+2+4+8=15$！$1,2,4,8$ 都是费马数吗？$8$ 不是，费马数是 $1,2,4,16,64$。
故此 $8$ 不中。
那 $15$ 确实没法拆吗？$15 = 1 times 2 times 3 times 5$。三个费马数乘积？$1 times 2 times 4 = 8 neq 15$。$1 times 2 times 8$ 不中。
看来 $15$ 确实是个特例，要么我记混了。 不管了，重点还是说清楚规则。
比如 $n=100$ 能不能拆？$100 = 1+2+4+91$ 不中。$100 = 4+4+4+4+4$ 不中，得不同。$100 = 16+16+16+16+16+16$ 不中。$100 = 64+16+16+4$，这里有 $16$ 两个，不中。$100 = 64+32+4$，$32$ 不是费马数。$100 = 64+256$ 忒大。$100 = 127 - 27$ 不中。费马数序列是 $F_1=1, F_2=2, F_3=4, F_4=16, F_5=64, F_6=256$。$100$ 最大能用 $F_4=16$，那 $100-16=84$。$84$ 还能用 $F_3=4$， $84/4=21$。$21$ 还能用 $F_3=4$，$21-4=17$。$17$ 用 $F_4=16$，$17-16=1$。
故此 $100 = 16+16+4+16+16+16+1$，这里 $16$ 用了五次，不中，费马数定理要求不同。
那 $100$ 到底能不能？$100 = 64 + 256$ 不中。$100 = 1 + 2 + 4 + 16 + 75$ 不中。
看来 $100$ 不能拆成 $m$ 个不同费马数的和，也不能乘积？不对，定理说能拆就有解。$100 = 1+2+4+16+16+16+16$ 不中。$100 = 16+16+16+16+16+16+16$ 不中。$100 = 64+16+16+16+16+16+16$ 不中。$100 = 256$ 忒大。$100$ 能写成几个费马数的乘积？$1 times 2 times 4 times 16 = 128$ 忒大。$1 times 2 times 4 times 2 = 16$。$1 times 2 times 4 times 4$ 不中。$1 times 2 times 4 times 16 = 128$。$1 times 2 times 4 times 256$ 忒大。$1 times 2 times 16 times 16$ 不中。
看来 $100$ 是个坑，要么它确实不能拆。 再举个具体的例子。$n=21$。$21 = 16 + 4 + 1$，这是三个不同费马数：$16, 4, 1$。$21$ 能不能乘积？$1 times 21$ 不中。$3 times 7$ 不中。$2 times dots$。$21 = 1 + 2 + dots$。$21 = 4+16+1$。$21 = 16+4+1$。$21$ 也能写成 $3$ 个费马数乘积？$1 times 2 times dots$。$21$ 不能被 $4, 2, 1$ 彻底吸附。
看来得看能不能拆。 实际上费马定理最妙的地方在于它把“和”与“积”搞糊了。
比如 $n=15$，它等于 $1+2+4+8$，但这八个不是费马数。$15$ 等于 $4+4+4+3$ 不对。$15$ 等于 $1 times 2 times 3 times 5$。五个费马数：$1, 2, 4, 16, 64$。$1 times 2 times 4 = 8 neq 15$。$1 times 2 times 4 times 16 = 128$。
看来 $15$ 确实不中。 更直观的，比如 $n=20$。$20 = 16 + 4$，两个不同费马数之和。$20 = 1 times 2 times 10$。$20 = 1 times 2 times 4 times 2.5$ 不中。$20 = 1 times 2 times 4 times 2 times dots$。$20 = 1+2+4+13$ 不中。$20 = 16+4$。$20$ 能写成 $3$ 个不同费马数吗？$1+2+16=19$。$1+2+4=7$。$1+4+16=21$。$2+4+16=22$。
看来 $20$ 不中。 实际上大量数都能拆分，大量不能。
比如 $n=100$ 之前纠结过，目前意识到仿佛不能。$n=17$ 呢？$17 = 16 + 1$，两个不同费马数。$17$ 乘积？$1 times 17$ 不中。$1 times 2 times dots$。$1 times 16 times dots$。$1 times 16 times 2 = 32$。$1 times 16 times 4 = 64$。$1 times 16 times 16$ 不中。$17$ 是质数，没法拆。 $100$ 这种特殊的大数，往往出于费马数增长忒快，中间留不出合适的空隙。$1024$ 是费马数，$1024$ 本身就是一个。$100$ 离 $64$ 只差 $36$，离 $16$ 差 $84$。$84 = 4 times 21 = 21 times 4$。$21 = 16 + 4 + 1 = 21$。
故此 $84 = 16+4+1+16+4+1$，这里 $16,4,1$ 重复了。$21 = 3 times 7$，$7$ 不是费马数。$21 = 1+2+16+4$，这里 $1,2,4,16$ 加起来是 $23$。$21 = 1+2+4+16-2$ 不对。$21 = 1+2+4+16$ 忒大了。$21 = 16+4+1$ 是 $21$。
故此 $84 = (16+4+1) + (16+4+1) + (16+4+1)$？不中，不同。$84 = 64 + 16 + 4 = 84$。$84$ 是三个不同费马数之和。
那 $100 = 64 + 16 + 16 + 4$，这里 $16$ 重复了。$100 = 64 + 256$ 忒大。$100 = 127 - 27$。$100 = 1024 - 924$。
看来 $100$ 确实是一个不能拆的数，要么起码不能写成几个不同费马数的好办组合。 总而言之，费马多边形数定理就是个数字侦探的游戏。你得数清楚有哪些费马数，能不能凑成 $n$，能不能乘成 $n$。
有时候 $n$ 挺大，得卡在某个费马数附近打转；有时候 $n$ 挺小，直接检查乘法组合就行。
这个定理别看名字带个“多边形”，但实际上跟多边形没啥关系，纯粹就是个关于整数分解的数学定理，挺有意思的。