解的存在唯一性定理的证明老师讲吗-证明解唯一性定理

老师有时候在讲线性方程组的时候，爱把推导过程先甩出来，再跟你讲“看到这个结论就知道解是唯一的”。我站在台下，看着黑板上那一堆密密麻麻的行列式，心里实际上挺发虚的，感觉老师是在用一种挺陈旧、挺枯燥的方式在教人。 解的存有唯一性定理，这可是线性代数里最关键的两个结论之一。
一般我们只要说“有解”，就能直接应用高斯消元法去求参数了。
可是，“唯一”它略微有点费事，出于它得证明系数矩阵的行列式一辈子不等于零。
这听起来仿佛就是数学题，但做起来真没那么省事。 记得有一次考试，老师留了一道题，让你证明：当 $A$ 是 $n$ 阶矩阵时，要是 $det(A) neq 0$，那么对应的齐次线性方程组 $Ax=0$ 只有零解。我当时脑子里蹦出来的第一个想法，就是抄个结论蒙吧。结局老师盯着我看了好几秒，眼神里带着一点质疑：“你确定没试一下行列式？”我脸一红，硬着头皮在草稿纸上启动折腾。 我先试着拿了一个 $2 times 2$ 的矩阵做例子。设 $A = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}$，算一下它的行列式。行法要么列法都得乘一次对角线，相减一次。$1 times 4 - 2 times 3 = 4 - 6 = -2$。
嘿，这不就是零吗？
什么的，不对，是[-2]，不是零。
这说明啥？说明这个矩阵是可逆的，那方程组肯定有唯一解。
这时候我心里那块石头才算落地。我转头问老师：“老师，我算对没？这是唯一的。”他笑着点头：“刚好，这个例子忒直观了。” 再比如，要是矩阵是对角矩阵 $begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$，那它的行列式就是 $2 times 1 = 2$，也不是零。
看来，只要行列式不等于零，解就一定是唯一的。
这听起来真好办，但证明起来非得把每一步都掰开了揉碎了写，不能偷懒。 为了证明这一点，我不得不回头看教材上那些长长的证明过程。老师当时就问我：“你打算把证明过程抄下来给全班读吗？”我摇了摇头。
实际上，这证明过程之故此难，是出于它得用代数变形。我们要证明要是 $Ax=0$ 只有零解，那就是说 $Ax=0$ 这个方程只有 $x=0$ 这一个特解，对吧？ 这时候我得把矩阵划掉，把非零项挑出来。
要是 $A$ 是可逆的，那 $A^{-1}Ax = A^{-1}0$ 就成立，左边变成 $x$，右边变成 $0$。
只要 $A$ 有逆，那两边消去就拿到 $x=0$。
这忒好办了，为啥老师要搞如此复杂的行列式证明呢？ 我想啊，或许老师是想让你明白，别看直接除以逆矩阵挺快，可是要是要严谨地证明所有情况，用行列式作为判别式是最稳妥的。
毕竟，要是行列式是零，那矩阵就不一定不可逆，那就可能还有无穷多解要么无解了。
故此，只要行列式不为零，解就唯一。 这让我想起了一个具体的例子。假设我们解一个 $3 times 3$ 的方程组。
要是算出它的行列式是 $12$，那解肯定唯一。
这时候你就能够放心地去求了，不用回头再猜。
哪怕后面求出来参数是 $x_1=1, x_2=2, x_3=3$，你也知道这是唯一的解，不会有人再跟你争“是不是 4"要么“会不会有多个解”。 不过，有时候老师也会说，解的唯一性定理实际上和“无限多解”的情况是一样的难，出于要排除掉那些非唯一的情况。
要是行列式是零，那矩阵就可能不可逆，就可能出现无解，也可能出现无穷多解。
这需求聊聊 $A$ 是不是零矩阵，是不是满秩。 有一次上课，有个同学举了个手说：“老师，我认定证明唯一性比证明存有性好办多了。”我笑着看他：“你把我当哪位呢？都是线性代数人。难不难全看你会不会列方程组，会不会做矩阵乘法。
不过证明存有性的时候，确实得小心，万一算错符号，整个证明就废了呢。”他愣了一下，没讲话。 实际上，这证明过程别看长，但一旦你会了，就能秒杀大局部题目。我不需求每次都去硬算行列式。目前，我都能娴熟地背下标准证明的大致步骤了。
1.先写个假设：$Ax=0$。
2.两边乘上 $A$ 的逆矩阵，拿到 $x=0$。
3.这样就得出了结论：零解是唯一的。 好办，好不好？看来，解的存有唯一性定理，说到底还是那个最朴素的线性方程组知识。
只要你会处理矩阵，就能搞定它。老师可能在那边讲得挺慢，讲的还有一套花里胡哨的套路，但对我这种只想解题的人来说，它就是个标准的解题步骤。 最终，我想再回看那个 $2 times 2$ 的例子。$A = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}$，行列式是 $-2 neq 0$，故此有唯一解。
要是换一下，比如 $A = begin{pmatrix} 2 & 4 \ 1 & 2 end{pmatrix}$，行列式是 $4-4=0$。
这时候，方程组 $Ax=0$ 就变成 $2x_1 + 4x_2 = 0$ 和 $x_1 + 2x_2 = 0$。
这两个方程实际上是等价的，只要 $x_2=0$，那 $x_1$ 能够是任何数。
这就出现了无穷多解。
故此，行列式是不是零，直接拍板了解是唯一的，还是不是。 这就是解的存有唯一性定理的核心。它不只是是个定理，它是我们判断线性方程组行为的一个标尺。
只要记住这个标尺，大局部题目就好办了。 总而言之，解的存有唯一性定理，它保证了在大多数情况下，我们求出的答案就是唯一的，不会模棱两可。
这真是忒棒了！别看证明过程看起来挺绕的，但一旦娴熟了，用起来就像拿一把钥匙开锁一样顺手。希望下次老师讲课的时候，能少讲点废话，多给我们一点实战演练的机会。
毕竟，数学题还是得自己演演才行。