韦达定理推导-韦达定理推导过程

那根老棍子一扔，咱们这就别整那些虚的，直接上韦达定理的活。 那会儿总爱在纸上画那么多抛物线，把 $y = ax^2 + bx + c$ 画得像心电图一样，每一段都是标准的“咚、咚、咚”。
实际上啊，这玩意儿在物理课上是时常用的，在工程里更是见怪不怪。
你看，扔个球，$x$ 是工夫，$y$ 是高度；要么算个电阻，$I$ 是电流，$R$ 是电阻。
只要有两个量能互相抵消，哪怕是个个圆柱体，也能凑出这个公式。 咱们拿扔球最直观的例子。假设你站在地上，手里拿着个球，往空中扔。手里没扔之前，球的高度是固定的，跟扔不扔、扔多狠都扯不上半点关系。
那这个高度，就是 $c$，常数项。扔出去之后，球飞起来，高度越来越高，达到一个最高点，然后慢慢落回地面。
这时候，高度跟工夫的关系，就是一条抛物线，数学上叫 $y = ax^2 + bx + c$。 那 $a$ 和 $b$ 到底啥意思呢？$c$ 是扔上去之前的高度，好理解。$a$ 呢？这是拍板轨迹“陡不陡”的因素。
要是球是斜着轻飘飘扔的，$a$ 就是负数，抛物线往左转；要是是以挺大的初速度垂直扔上去，$a$ 就是正数，抛物线往右转。$b$ 就是初速度的分量，跟扔的角度相关。扔得越急，$b$ 的绝对值越大，抛物线越“胖”；扔得越慢，$b$ 越小，越“瘦”。 目前难题来了，当球落回地面时，高度 $y$ 是多少？自然是 0，对吧？这就构成了一个方程：$0 = ax^2 + bx + c$。
这就是所谓的“韦达定理”吧？乍一听挺抽象，实际上就是说：要是一个方程能求出两个根（也就是两个工夫，要么两个长度），那这两个根加起来等于 $-b/a$，两个根相乘等于 $c/a$。 这就挺妙了，$a$、$b$、$c$ 是物理量，根是工夫或长度，等式两边单位自动对上了。 咱们来算算扔个球的具体数字。假设从高度 10 米的地方扔一个足球，初速度是每秒 15 米，方向是斜向上 45 度。
这时候，$c = 10$ 嘛，扔上去之前就是 10。斜率 $a$ 是个负数，出于球要掉下来。具体算一下，$a = -g/2 approx -4.9$。初速度分量 $b = 15sin 45^{circ}$，算出来大约是 $15 times 0.707 approx 10.6$。 这时候得解个一元二次方程：$4.9x^2 + 10.6x - 10 = 0$。求 $x$。用求根公式吧，$x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
这下有点难了，得算根号里的局部。$b^2 = 112.36$，$4ac = 4 times 4.9 times (-10) = -196$。根号里是 $112.36 - (-196)$，等于 308.36，开根号大约等于 17.56。 故此 $x_1 = frac{-10.6 + 17.56}{2 times 4.9}$，算下来是 $x_1 approx 0.7$ 秒。
这就是球飞起来的工夫。
那 $x_2$ 呢？$x_2 = frac{-10.6 - 17.56}{9.8}$，算出来是 $x_2 approx -3.05$ 秒。 这就尴尬了，负的工夫？物理上工夫不能负啊。别慌，负号是出于方程是“落地=0"，也就是球从最高点落回地面的过程。
要是我们设抛出时刻为 $t=0$，那么球第一次落地的时候，$x$ 就是正数。
要是我们换个思路，从最高点往下抛，那就变成了 $y = ax^2 + bx + c$，但此时 $c=0$，$b$ 是下降速度，$a$ 还是正的。 不过这正说明韦达定理的威力，它不管你是从地上扔上去，还是从最高点往下扔，只要方程里的根存有，那根与根的关系就固定不变。
那个 $-b/a$，实际上就是说：第一次落地和第二次落地的工夫间隔，跟初速度的斜率相关？不对，那是另一个结论。
这里是说：方程的两个常数项 $b$ 和 $c$ 的某种组合，拍板了根的性质。 你看，$c$ 是初始高度，$b$ 是初始速率的影响。根之和 $x_1 + x_2 = -b/a$，这实际上暗示着：两次落地的工夫差，跟初速度的“垂直分量”成正比，跟“重力加速度”成反比？别看这个结论在那时可能看不忒清，但逻辑是通的。 这里有个小坑。大量人会直接套用公式，认定 $x_1$ 和 $x_2$ 都是正数，然后直接相加。但做题的时候，务必得先判断根的符号。
比如刚刚算的 $x_2$ 是负的，说明它是在抛出点之前的某个时刻形成的，要么说是关于对称轴的镜像。在物理上，这往往对应着“从最高点落回地面”的过程。 再举个更生活化的例子。咱们算算绳子拉弓的场景。设弓弦长为 $L$，设弦张紧后的高度差为 $Delta h$（假设弓身有厚度要么形状不规则，为了简化，假设这是一个正弦波模型要么类似的波动方程，别看韦达定理对纯正弦波直接不成立，但对线性叠加的波是成立的）。 假设有一根绳子，一端固定，另一端被拉着。
要是只寻思张力 $T$ 和长度 $L$，波速 $v = sqrt{T/mu}$。
要是绳子在中间有个下垂的局部，形成一个悬链线，那波动方程就不一样。但要是我们把它拉直，变成一个理想的弦，这时候方程就是 $y = sin(kx)$。
这实际上就是 $y = Ax^2 + Bx + C$ 的特殊形式，只是 $k$ 是参数。 咱们简化点，还是回到那个抛物线。假设你有一个水平桌面上的小球，它被一个斜放的弹簧顶着。弹簧的劲度系数是 $k$，支撑点距离小球初速度点的距离是 $d$。
这时候小球会做简谐运动，位移 $x$ 跟工夫 $t$ 的关系是 $x = A sin(omega t)$。
这就是一个 $A sin^2(omega t)$ 的形式，也就是 $A(omega t)^2 + B(omega t) + C$ 的某种变形（忽略高阶项）。 设 $X = omega t$。
那么 $x = A X^2 + B X + C$。
这里 $C = 0$，出于一直在运动。$B = A omega$（初速度），$A = A$（振幅系数）。方程是 $0 = A X^2 + B X + C$？不对，要是是简谐运动，位移是 $x(t)$，不是让位移为 0。
要是方程是 $x(t) = 0$，那就是小球回到自己的平衡位置。 好，换个比。 Cannonball？打出一颗炮弹。初始高度 $h_0$，初速度 $v_0$，角度 $theta$。方程 $y = h_0 + v_0 sintheta cdot t - frac{1}{2} g t^2$。
这就是 $y = -frac{1}{2} g t^2 + v_0 sintheta cdot t + h_0$。 求落地点工夫 $t$。令 $y=0$，则 $g t^2 - 2 v_0 sintheta cdot t - 2h_0 = 0$。
这里 $a = g, b = -2 v_0 sintheta, c = -2h_0$。 求根公式：$t = frac{2 v_0 sintheta pm sqrt{4 v_0^2 sin^2theta + 8 g h_0}}{2g} = frac{v_0 sintheta pm sqrt{v_0^2 sin^2theta + 2 g h_0}}{g}$。 看根之和：$t_1 + t_2 = frac{v_0 sintheta}{g}$。
这正好是抛体运动的一个关键性质：总飞行工夫（要是不寻思落地方向的话，要么说是对称轴相关的工夫）跟初速度的垂直分量成正比。 再看根之积：$t_1 t_2 = frac{v_0 sintheta}{g}$。
这个结局挺有意思。两个工夫的乘积，等于初速度垂直分量除以重力加速度。 举个具体的数字。假设你扔一个排球，$h_0 = 1.5$ 米（身高线上方一点），$v_0 = 12$ 米/秒，$theta = 45$ 度。$g = 9.8$。 $y = 1.5 + 12 cdot frac{sqrt{2}}{2} t - 4.9 t^2$。 令 $0 = -4.9 t^2 + 8.485 t + 1.5$。 $a = -4.9, b = 8.485, c = 1.5$。 $T_{flight} = -b/a = 8.485 / 4.9 approx 1.73$ 秒。
这是抛出点到最高点的时刻？不对，总工夫。 $t_1 + t_2 = -b/a = 1.73$。 $t_1 t_2 = c/a = 1.5 / (-4.9) approx -0.306$。 这里有个负号。说明两个根是 $t_1$ 和 $t_2$。一个是正的，一个是负的。 $T_{flight} = t_1 + t_2 approx 1.73$ 秒。
这里 $t_2$ 是负的，意味着它是在抛出点之前，也就是空中停留的另一个时刻。 $t_1 t_2 = -0.306$。
这代表啥？它代表抛出点与“落回原位”要么“另一侧落点”的工夫乘积？实际上在这个模型里，它更多是用来检查计算是否毛病，要么代表对称性。 再算算 $b/a$ 的值。$8.485 / 4.9 approx 1.73$。
这实际上是 $v_0 sintheta / g$。
这就是标准抛体运动的总飞行工夫公式。 故此，韦达定理在这里告诉我们：对于那个二次方程，根的和就是总飞行工夫，根的积就是初速度垂直分量与重力加速度的比值。 这就有点意思了。
一般我们只记得公式，但忽略掉了这个“根与根”背后的联系。
比方说，要是初速度 $v_0$ 变大了，根之积 $v_0/g$ 就变大了。
这意味着两个工夫点离得更远了？
要么说，那个负的工夫根（那个对称轴的镜像）离正的工夫根更远了。 你看，方程是 $4.9t^2 - 8.485t - 1.5 = 0$。 求根公式算出来 $t_1 approx 1.73$, $t_2 approx -0.306$。 $t_1 + t_2 = 1.42$。
什么的，刚刚算的 $-b/a$ 是 $1.73$。
哪儿错了？ 啊，我看错了方程。$y = -4.9t^2 + 8.485t + 1.5$。 令 $y=0$，移项得 $4.9t^2 - 8.485t - 1.5 = 0$。 这里 $a=4.9, b=-8.485, c=-1.5$。 $t_1 + t_2 = -b/a = 8.485 / 4.9 approx 1.73$。对的。 $t_1 t_2 = c/a = -1.5 / 4.9 approx -0.306$。对的。 那 $t_1$ 和 $t_2$ 具体是多少？ $t = frac{8.485 pm sqrt{(-8.485)^2 - 4 times 4.9 times (-1.5)}}{9.8}$ $t = frac{8.485 pm sqrt{72.0 + 29.4}}{9.8} = frac{8.485 pm sqrt{101.4}}{9.8}$ $sqrt{101.4} approx 10.07$。 $t_1 = (8.485 + 10.07) / 9.8 approx 18.555 / 9.8 approx 1.89$ 秒。 $t_2 = (8.485 - 10.07) / 9.8 approx -1.585 / 9.8 approx -0.16$ 秒。 总和 $1.89 + (-0.16) = 1.73$。对的。 积 $1.89 times (-0.16) approx -0.302$。对的，根本吻合 $-0.306$。 故此，当你看着 $t_1$ 和 $t_2$，你会认定一个是从地上抛出去，一个是从最高处下坠回来的另一种描述？实际上 $t_2$ 的负值，代表了要是球是从平地 ($h_0=0$) 以同样的速度抛出去，它会飞多久？显然，$h_0=0$ 时，$c=0$，方程变成 $4.9t^2 - 8.485t = 0$，根是 $0$ 和 $1.73$。 故此 $t_1$ 是平地抛出的工夫，$t_2$ 是抛起后再落回地面的工夫（相对于 $t=0$ 的某种偏移，要么是镜像）。 $k_1 = t_1 - t_2 = 1.89 - (-0.16) approx 2.05$ 秒。
这是两次落地的工夫差。 而 $t_1 + t_2 = 1.73$ 秒。
这是从抛出点到落回原高度（或对称点）的总工夫。 这真是一个美妙的发现。韦达定理不只是是一个代数工具，它把物理过程的数量关系，直接嵌入到了方程的根的结构里。$a, b, c$ 是物理参数，$t_1, t_2$ 是工夫结局，它们之间的加减乘除，彻底由那个二次方程拍板。 大量初学者看到 $ax^2+bx+c=0$，只会急冲出去求根。但当你理解了 $t_1 + t_2 = -b/a$ 这个结论时，你就明白为啥物理上的某些量（比如飞行工夫）是对称的，要么为啥某些参数变化会线性影响结局。 最终再试一个纯数字的练习，不代入任何物理变量。 设方程为 $2x^2 + 5x - 3 = 0$。先求根。 $x = frac{-5 pm sqrt{25 - 4(2)(-3)}}{4} = frac{-5 pm sqrt{25 + 24}}{4} = frac{-5 pm sqrt{49}}{4} = frac{-5 pm 7}{4}$。 $x_1 = (2)/4 = 0.5$。 $x_2 = (-12)/4 = -3$。 $x_1 + x_2 = -2.5$。 $x_1 x_2 = -1.5$。 这跟 $-b/a$ 和 $c/a$ 彻底吻合。$-5/2 = -2.5$，$-3/2 = -1.5$。 故此，韦达定理到底是个啥？就是它告诉你，不管你是如何解这个方程，你总能从这两个根里，重新拼凑出 $a, b, c$ 这三个数。并且你还能发现，这两个根之间的差，跟方程里的系数有直接关系。
比如 $x_1 - x_2 = sqrt{b^2 - 4ac}/a$。
这就是判别式在起功能。 对于物理难题，这个命题特别有用。
比如求弹簧振子的振幅。方程是 $m a = -k x$，即 $m omega^2 x + k x = 0$，即 $(m omega^2 + k) x = 0$。
只有 $x=0$ 是一个根。
这不叫二次方程了？哦，出于这是一个线性方程，只有一个根，要么两个相等的根。 要是方程是 $m omega^2 x^2 + k x^2 + dots$ 不对。振动方程是 $F = ma = -kx$。$ma + kx = 0$。
这是线性的，一次方程。 要是要构造二次方程，得把质量 $m$ 换成跟工夫相关的量，要么把 $x$ 换成跟位移相关的量，但 $x$ 是状态变量。 那要是 $x$ 是位移，$a$ 是加速度，$g$ 是重力。 $y = ax^2 + bx + c$。 求 $y=0$ 时 $x$。就是求工夫。 故此 $t_1, t_2$ 就是两个时刻。 在这里，$x_1$ 是球落地时刻，$x_2$ 是球从最高点落回地面的对称时刻（负值）。 $t_1 = t_{land}$。 $t_2 = t_{peak} - t_{land}$？不对。 对称轴在哪儿？$x_{sym} = -b/(2a)$。 判别式 $Delta = b^2 - 4ac$。 $sqrt{Delta} = 2 sqrt{a^2 c - a^2 b^2 / 4}$？不对。 $sqrt{b^2 - 4ac} = 2 sqrt{a^2 c - a^2 b^2/4}$ 是错的。 $sqrt{b^2 - 4ac} = 2 sqrt{a} sqrt{b^2/4 - c/a}$？也不对。 $sqrt{b^2 - 4ac} = sqrt{(2sqrt{a}x)^2}$。 实际上不用纠结对称轴了。结论是：根与根的和（$t_1 + t_2$）等于 $-b/a$，根与根的积（$t_1 t_2$）等于 $c/a$。 这就是韦达定理在这里的全体意义。它没有告诉我们 $t_1$ 和 $t_2$ 代表啥具体的物理动作，但它告诉我们，这两个工夫值之间，必然知足这个代数关系。
只要方程写对了，这个关系就成立。 最终再回一句，做题的时候。
看到 $ax^2+bx+c=0$，第一反应是求根。但多思索一下，$t_1$ 和 $t_2$ 的质与量。
比方说，要是 $c=0$，说明其中一个工夫就是 $0$，也就是根就是 $0$ 和另一个值。
这说明啥？说明初始条件拍板了其中一个解是平凡的。 比如 $h_0=0$ 时，方程变成 $y = v_0 t - frac{1}{2} g t^2$。令 $y=0$，得 $t(v_0 - frac{1}{2} g t) = 0$。根是 $0$ 和 $2v_0/g$。 这 $2v_0/g$ 就是飞行工夫。 这里 $c=0, a=-g/2, b=v_0$。 $t_1 = 0$。 $t_2 = 2v_0/g$。 $t_1 + t_2 = 2v_0/g$。 $t_1 t_2 = 0$。 彻底吻合。 故此，韦达定理，说白了就是个代数转换器。它把物理过程“翻译”成方程，然后告诉你，方程里的根，就能反过来还原出物理参数。
这大约就是数学和物理最朴实的结合：逻辑自洽。