威尔逊定理详解-威尔逊定理详解精简版

威尔逊定理，在数论圈子里有时候是个让人头疼的小费事，出于它不像“余数定理”那样直接告诉你 2+2=4，要么像欧拉定理那样在模数 $p$ 上开方那么好办。它时常让你卡在 $a^p equiv a pmod p$ 这个结论上，明明知道结论是对的，就是推不出来，要么推出来之后发现 $p$ 是素数这个条件忒苛刻。 这玩意儿最早是勒让德（Legendre）搞出来的，后来才由帕斯卡（Descartes）重新整理并推广，这才确立了目前的定义。它最了得的地方在于，它居然能处理素数下面的所有情况，就连非素数也行，只要略微凑个公式就行。 咱们先看个最好办的例子，比如 2 和 3。都是素数。
这时候威尔逊定理的前半局部说，$2^2 - 2 equiv 1 pmod 3$，也就是 $4 equiv 1$，这是万无一失的。再比如模数 5，$3^5 - 3 equiv 3 pmod 5$，$25 equiv 3$，这看起来有点怪，但也是对的。到了模数 7，$3^7 equiv 3 pmod 7$，$3^3 = 27 equiv 6 equiv -1$，故此 $3^7 = (3^3)^2 cdot 3 = (-1)^2 cdot 3 = 3$，依然成立。 到了素数 11，情况略微复杂点。大家看到 $11$ 的因子全都是 1，左边那就是 $1^11 equiv 1$，右边自然也得是 1。但 $3^{11} - 3 equiv 0 pmod{11}$，$3^{11} equiv 3$。里面这一堆数字算起来，$3 times 3 = 9$, $9 times 3 = 27 equiv 5$, $5 times 3 = 15 equiv 4$, $4 times 3 = 12 equiv 1$。
这里有 4 个 3 相乘，故此相当于 $1 times 3 = 3$。最终结局是 3，左边是 1，不对啊？
什么的，这里得小心，$11$ 的素因子是 11，要有 11 个因子才行。$3^{11}$ 算一次就够了，没那么复杂。 什么的，我是不是算错了？让我重新算一下 $3^{11}$ 在模 11 下的值。$3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27=5$, $3^4=15=4$, $3^5=12=1$。
哦！$3^5 equiv 1 pmod{11}$。出于基数的阶是 5，而模数是 11，根据欧拉定理，$3^{10} equiv 1 pmod{11}$。
故此 $3^{11} = 3^{10} cdot 3 equiv 1 cdot 3 = 3 pmod{11}$。
那 $3^{11} - 3 equiv 0 pmod{11}$，恒成立。
看来刚刚那个直觉是错的，$3^5 equiv 1$ 这个事实彻底把计算给简化了。 到了 13，这个数有点意思了。$13$ 的素因子全是 13，左边 $1^{13}$ 肯定是 1。右边呢？$2^{13} equiv 2 pmod{13}$。$3^{13} equiv 3 pmod{13}$。一直算到 $10^{13} equiv 10 pmod{13}$。线路开过了，$10^{13} cdot 10 = 10^{14} equiv 10 cdot 10 = 100 equiv 9 pmod{13}$。又开了一次，$9^{13} equiv 9 cdot 9 = 81 equiv 3 pmod{13}$。线路持续开，$3^{13} equiv 3 cdot 3 = 9 pmod{13}$。又开，$9^{13} equiv 9 cdot 9 = 81 equiv 3 pmod{13}$。线路持续开，$3^{13} equiv 3 cdot 3 = 9 pmod{13}$。又开，$9^{13} equiv 9 cdot 9 = 81 equiv 3 pmod{13}$。线路持续开，$3^{13} equiv 3 cdot 3 = 9 pmod{13}$。
这一路开了一半都没简化，真他妈费事。 最终一步，$9^{13} cdot 9 = (9^{13}) cdot 9 equiv 3 cdot 9 = 27 equiv 1 pmod{13}$。完美！要么更好办的办法是，$9^{12} equiv 1 pmod{13}$，故此 $9^{13} equiv 9 pmod{13}$。
这样算更快。 实际上，威尔逊定理的核心思想挺朴素：每个素数 $p$ 都有一种特殊的倍数关系，就是 $p-1$ 个素因子全是 1。左边是 $1$ 的 $p$ 次方，也就是 1。右边务必也是 1。
这就是为啥 $p$ 务必是素数，出于要是不是素数，比如 4，$1^{11}$ 是 1，但 $11^{11} - 11 equiv 1 pmod{11}$ 就不一定成立了。 当 $p > 2$ 时，威尔逊定理的前半局部实际上是说 $a^p equiv a pmod p$ 对所有整数 $a$ 都成立。
这就挺有意思了，不像欧拉定理那样只处理素数幂的情况，威尔逊定理直接跨越到了所有整数。
这使得它在非素数模数下也能用，只要把指数改成 $p-1$ 再加个 $a$ 就行。 不过，大量人还是会在模数 $p$ 上开方时遇到难题。
比如求 $3^{11}$ 的平方根。按欧拉定理，$3^{11} equiv 3 pmod{11}$，这没啥用。但用威尔逊定理，$3^{11} equiv 3 pmod{11}$ 成立，说明 $3$ 是模 11 的本原根。一旦确认了是根本根，开方运算就好办多了，直接路数开方就行，不用管模数里那些其他的因子了。 还有一个有趣的推论。
要是 $p-1$ 是素数 $q$ 的倍数，比如 $p=7, q=3$，那 $q$ 次方就是 $1$ 了，开方就是 $1$。
要是 $p-1$ 是合数，比如 $p=11, q=110$（自然 $q$ 不一定素数，假设 $q$ 是某个整数），$110$ 次方还是 $1$，开方还是 $1$。但这有个前提得知足：$p-1$ 务必是素数的倍数，要么 $p-1$ 是合数的倍数，且对应的根存有。 要是你算到 $a^p equiv a pmod p$ 这一步，看着像算出了个答案，但实际上是在验证你已经算出了对答案。就像在数学竞赛里，看到答案选项 $E$ 就是对答案，但去验证它一遍是为了确认你根本没搞错。
有时候你认定自己算出来了，但实际答案不在选项里，这时候回头一看，发现 $a^p notequiv a pmod p$，那说明你肯定算错了。 故此，威尔逊定理别看看起来是个废话，但实际上是个贼强大的工具。它让你知道啥时候能够使用欧拉定理，啥时候能够直接开方，啥时候务必去质疑自己的计算结局。它把模数下的运算从一个个孤立的素数难题，变成了一个统一的、通用的框架。 最终，它还有一个有趣的性质，就是 $p-1$ 和 $p$ 之间的关系。
要是 $p=7$，那么 $7-1=6$，$6$ 是 $2 times 3$。
这意味着 $2^3 equiv 1 pmod 7$，$3^2 equiv 1 pmod 7$。
这两个因子把 $7-1$ 分开了。但要是是 $p=11$，那么 $11-1=10$，$10$ 是 $2 times 5$。
这意味着 $2^5 equiv 1 pmod{11}$，$5^2 equiv 1 pmod{11}$。
这两种情况都揭示了 $p-1$ 的结构，也展示了威尔逊定理在分解大数时的庞大威力。 总而言之，威尔逊定理不是一本教科书上那种死记硬背的定理，它更像是一个数论家的工具箱，每一个工具都有特定的用法和限制。当你感到卡壳的时候，回头看看这个定理，往往能顺藤摸瓜地找到你卡住的那块。它提醒我们，有时候数学不需求更多的证明，只需求更清楚的视角。