定积分中值定理用法-定积分中值定理应用｜深度解析与实战指南

【例3】结合罗尔定理（2018数学一）

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$int_0^1 f(x),dx = 0$，$int_0^1 x f(x),dx = 0$，证明：存在 $xiin(0,1)$ 使 $f(xi)=0$。

解法一（构造辅助函数）：令 $F(x)=int_0^x f(t),dt$，则 $F(0)=0$，$F(1)=0$。由罗尔定理，$exists,cin(0,1)$ 使 $F'(c)=f(c)=0$。但需验证 $F(1)=0$——由题设 $int_0^1 f(x),dx=0$，确实成立！故直接得证。

解法二（积分中值定理）：若 $f$ 恒为0，则结论成立；否则设 $f(x_0)>0$，由连续性存在邻域 $f(x)>0$，导致 $int_0^1 f(x),dx>0$，矛盾。故必有零点。

【例4】不等式估计

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 可导，$f(0)=0$，$|f'(x)|le 2x$，证明：$left|int_0^1 f(x),dxright| le frac{1}{3}$。

解：由拉格朗日中值定理，$f(x)=f(x)-f(0)=f'(xi)x$，$|xi|le x$，故 $|f(x)|le 2xi cdot x le 2x^2$。于是：

但题目要求 $frac{1}{3}$，需更精细估计：由 $f(x)=int_0^x f'(t),dt$，得 $|f(x)|le int_0^x 2t,dt = x^2$，故：

得证。

【例5】带权中值定理（2022数学二）

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，证明：存在 $xiin(0,1)$ 使 $f(xi) = 3int_0^1 x^2 f(x),dx$。

解：令 $g(x)=3x^2$，则 $int_0^1 g(x),dx = 1$，且 $g(x)ge0$。由带权中值定理：

即 $f(xi) = int_0^1 3x^2 f(x),dx$，证毕。

【例6】极限与中值定理综合

求 $lim_{ntoinfty} n int_0^1 x^n f(x),dx$，其中 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续。

解：令 $I_n = n int_0^1 x^n f(x),dx$。由积分中值定理，$exists,c_nin(0,1)$ 使：

当 $ntoinfty$ 时，$frac{n}{n+1}to1$；又因 $x^n$ 在 $[0,1)$ 上趋于0，仅在 $x=1$ 附近有贡献，故 $c_nto1$。由 $f$ 连续，$f(c_n)to f(1)$。因此极限为 $f(1)$。