切割线定理推导图解-切割线定理图解

切割线定理：把几何画成画 在几何的世界里，永动机死定了，出于几何是欧几里得构建的，不是爱因斯坦想象的。切割线定理，这事儿听着就透着一股子“物理”味道，像极了物理课上那个动能定理，只要你画对图，思路就能顺那会儿。 别被名字绕晕了，这玩意儿实际上就是“截线定理”的缩写，中文里叫“切割线定理”实际上挺形象的——就像一把刀，切过线段，把线给分开了。你要是再细究点，它实际上是圆幂定理的一种，跟相交弦定理、割线定理是一桌子的饭。
那会儿高中老师讲得头头是道，说从圆外一点引两条割线，交点处的圆幂相等。
实际上这就好理解，这就好比两个人拿着同样的登山杖，从同一个点出发，.walk 到山脚，最终推出来的高度差肯定一样。 咱们拿个最典型的例子聊聊。假设有一个圆，你在圆外面站个脚，手里拿根棍子。从上往下，先切了一段小段，再切了一段长段。
这时候，你手里的棍子长度，跟你从那个点切到圆上的那一段距离，乘积是一个定值。
这“乘积定值”叫啥来着？叫“圆幂”。 具体到操作，最好办的莫过于两个割线。你就得画两条线，一条从点 A 切到圆上，另一条从同一个点 A 切到圆上。
这时候，A 点连圆心上那条线，实际上没啥用。真正的得分点，是那个“交点”。设圆上两个交点为 C 和 D，点 A 到 C 的长度乘以 A 到 D 的长度。
对，就是那个乘积。 要是换个思路，比如用切线定理，从同一点引两条切线，那两条切线长度相等，这别看也对，但割线定理更通用，出于切线实际上是割线的一种极限情况。 再比如相交弦定理，那是两条弦交叉，交点分得的乘积相等。
这时候图就有点乱了，两头都各分了。切割线定理就高明白，两条线，只有一条直线连起来，并且是从圆外一点进来的。
这就好比你在球场看人跑，一个人从 A 点跑，先切个 10 米到 D 点，再跑 30 米到 C 点，那 A 到 C 的总距离，肯定等于 A 到 D 的距离乘以 A 到某个点的距离，这逻辑忒顺了。 有个经典例子：个三角形。画个圆外一点 P，连两条割线，分别交圆于 A、C 和 B、D。
那么 PA · PC = PB · PD。
这个结论有时候写起来挺拗口，叙述起来就有点绕。
不如咱们换个角度，把 P 点拉到无穷远，这时候就成了切线定理。
这时候，PA 变成了切线长，PC 变成了割线的一局部。
这时候，切线长平方等于割线全长乘以圆外局部。
这逻辑简直完美，物理学家见了都得拍大腿：这玩意儿不就是在说能量守恒吗？ 再给咱们个实打实的数字例子。画个圆，半径是 5 米。你在圆外站个点，距离圆心的垂直距离是 12 米，也就是切线长。
这时候，切线长就是 $12^2 = 144$ 米。目前从那个点引一条割线，穿过圆，交圆于 C 和 D。
要是这条割线把圆分成了两段，一段是 4 米，一段是 10 米（总长 14 米），那这个点到底在圆外多远呢？ 用切割线定理算：点 P 到 C 的距离乘以 P 到 D 的距离等于 144。假设 P 到 C 是 x，那么 P 到 D 就是 144 - x。
什么的，这里要注意，P 到 C 和 P 到 D 是相减还是相加？哦不对，割线定理里是 P 到圆的两个交点的距离之积。
要是 P 在圆外，它到近的交点距离是 a，到远的交点是 b，那 a·b = 圆幂。 举个具体的：画个大圆，圆心 O，半径 R=5。点 P 离 O 的垂线长 PO=12。
那么切线长 $L = sqrt{12^2 - 5^2} = sqrt{144-25} = sqrt{119} approx 10.9$ 米。目前引割线交圆于 A、B。假设我们设定 PA=4，那么 PB 就得是 $10.9 times 4 / 4 = 10.9$ 米。
这时候 PA+PB = 14.9。
这彻底没难题，出于圆外点到圆上最近距离是 $R-L approx 5-10.9$ 不对，圆外最近距离是 $PO - R = 12-5=7$ 米。
哦，我刚刚算错了，圆外点到最近点的距离是 $PO-R=7$，最远点是 $PO+R=17$。
故此 PA 是 4，PB 是 13，总和是 17，彻底符合 $7 < 13 < 17$ 的范围，逻辑闭环，完美。 还有那些圆外切四边形。画个图吧，圆在外面，四边切圆于 A、B、C、D。
这时候，对每条边，外心到切点的距离相等。
故此，从切点 A 到圆心 O 的距离，等于从圆心 O 到切点 A 的距离，也就是半径。
这跟切割线定理有啥关系？没啥直接关系，切割线定理是讲弦的。 实际上啊，切割线定理在讲“线段比”的时候，用得顶多。
比如想求两条割线在圆外交点的比例。设圆外一点 P，割线 PAB 和 PCD，A、B、C、D 在圆上。
那么 PA/AC = PD/BC？不对，是 PA/PC = PB/PD 吗？不是。是 PA/BC = PD/AC 吗？也不对。 对的比例关系是：PA·PC = PB·PD。
这意味着 PA/PB = PD/PC。
也就是说，点 P 到圆上两点的距离比，是成比例的。
这个比例，有时候在工程制图里要用到。
比如画个圆，你要画一个半圆，然后从圆心引切线。
这时候，切线长和半径构成的直角三角形，斜边就是割线的一局部。 再举个具体的计算案例。画个圆，直径 20 米。你在圆外站个点，切线长是 15 米。目前引一条割线，穿过圆心，那这条割线全长就是 $15 + 10 = 25$ 米。
那它把圆分成的两段，一个是 10 米（直径），另一个是 15 米。
这时候，点 P 到近的交点距离是 10 米吗？不对，点 P 到圆心的距离是 15，圆半径是 10，故此 P 到最近的交点是 $15 - 10 = 5$ 米。P 到最远的交点是 $15 + 10 = 25$ 米。
那切割线定理就是 $5 times 25 = 125$ 米。
这时候，切线长平方 $15^2 = 225$ 米。
这就有点矛盾了，哪儿出难题了？哦，割线定理里，是 P 到圆的两个交点的距离之积。对于直径的情况，P 到近交点是 5，到远交点是 25，乘积是 125。切线长平方是 225。
这说明啥？说明在这个例子里，P 不在圆外引切线？不对，15 是切线长，那 P 一定在圆外。
那难题在哪？哦，割线定理里的乘积，是 $PA cdot PB$，其中 A、B 是割线与圆的交点。对于直径割线，PA=5，PB=25，乘积 125。切线长平方是 225。
这说明啥？说明这个点 P 到圆心距离是 $sqrt{225} = 15$，而半径是 10，$15 > 10$，故此在圆外。
那 $PA cdot PB = 125$，而 $L^2 = 225$。
这俩不相等啊？ 啊，不对。切割线定理是 $L^2 = PA cdot PB$ 吗？不对。切割线定理是 $L^2 = PA cdot PC$，其中 C 是远交点。对于直径割线，PA=5，PC=25，乘积 125。$L^2 = 225$。
这说明啥？说明我搞错了公式。 切割线定理是：从圆外一点引切线长 L，引割线 PAB（A 近 B 远），则 $L^2 = PA cdot PB$。 对于直径割线，P 到 A 的距离是 5，P 到 B 的距离是 25。
那么 $L^2$ 应当等于 $5 times 25 = 125$。但 $L = 15$，$L^2 = 225$。
这说明我的设定有难题。
要是 P 到 A 是 5，那 P 到圆心是 5+10=15？不对，P 到 A 是 5，A 是近交点，故此 P 到 O 是 $5 + 10 = 15$。
那 $L = sqrt{15^2 - 10^2} = sqrt{225 - 100} = sqrt{125} approx 11.18$。
哦，原来切线长不是 15 了，而是 $sqrt{125}$。 故此我刚刚的举例错了。
要是切线长是 15，那 $L^2 = 225$。
那么 $PA cdot PB = 225$。
这意味着 P 到圆的两个交点距离之积是 225。
要是圆直径 20，半径 10，P 到圆心 15。
那么 P 到近交点距离是 $15 - 10 = 5$，到远交点距离是 $15 + 10 = 25$。$5 times 25 = 125$。
这说明要是 P 到圆心的距离是 15，切线长是 $sqrt{125}$，那么 $L^2 = 125$，而 $PA cdot PB = 125$，彻底吻合。 好吧，举例子的逻辑，实际上大量。核心就是记住：圆外一点，切线长平方等于割线全长乘圆外局部。画图的时候，一定要标出 S 点，S 点就是那个交点，S 点连圆心上，这段线段，叫“圆幂”线段。 最终再说说，这个定理在实际绘图里有啥用。在圆规直尺作图里，有时候需求验证一个点是否在圆上。
要是你知道切线长，就知道圆幂是切线长的平方。
要是你知道两个交点，算出圆幂，再和切线长平方对比，就完了。
还有，在证明题里，要是给你两个交点，要你证一个点在圆上，这时候，证这个点在圆上，就是证圆幂相等。 切割线定理，实际上就是个好办的乘法关系。画个图，标个 S，算个乘积。
这比那些绕口公式好用多了。你要是认定难，就把它简化成：从圆外一点引两条线，乘积相等。 这就行了。
这定理，听着是死板的，实际用起来全是乘法，全是乘积，全是比例。几何这东西，最终都能算个具体的数值出来，哪怕图再乱，只要计算对，就能解决大局部难题。