切割线定理证明怎么开·切割线定理如何证

切割线定理，又称割线定理，描述的是：当一个点位于圆外时，从该点引出的任意两条直线（可以是切线或割线），它们与圆相交后所形成的线段长度之间，存在一种稳定的比例关系。

更具体地说——

• 若引出两条割线（穿过圆两次），则每条割线的“外段 × 全长”相等；
• 若引出一条切线（仅接触圆一次）与一条割线，则切线长的平方 = 外段 × 全长；
• 若引出两条切线，则两条切线长相等（这是本定理的特殊情况）。

这并非孤立的几何现象，而是圆的对称性与相似三角形共同作用的必然结果。

设圆外一点为 P，过 P 作一条切线 PT（T 为切点），再作一条割线 PAB（A 在 P 与 B 之间）。连接 OT、OA（O 为圆心）。

关键一步：

• 因为 PT 是切线，所以 OT ⊥ PT（切线垂直半径）；
• 在 △PTA 与 △PTB 中：
• ∠PTA = ∠PBT（同弧 AT 所对的圆周角与弦切角相等）；
• ∠P 是公共角；
• ⇒ △PTA ∽ △PBT（AA 相似）

这就是切线-割线情形的数学本质！

从 P 引两条割线：PAB 和 PCD（A、C 靠近 P）。连接 AC、BD。

观察：∠PAC 与 ∠PDB 都对着弧 BC，故相等；同理 ∠PCA = ∠PBD。

⇒ △PAC ∽ △PDB（AA）

注意！这里 PB = PA + AB，PD = PC + CD，因此也可写作：

外段 × 全长 = 外段 × 全长

• ✅ 点在圆外（这是前提！圆内点引弦用相交弦定理）
• ✅ 线与圆有交点（切点算一个交点，割线两个）
• ✅ 线段分段明确（外段：点到近交点；内段：两交点之间）

设点 P 在 ⊙O 外，过 P 作直线交 ⊙O 于 A、B 两点（PA < PB），另作切线 PT（T 为切点），则恒有：

PT² = PA × PB

步骤 1：连接 OT、OA、OB、AT、BT

步骤 2：由切线性质，OT ⊥ PT ⇒ ∠OTP = 90°

步骤 3：∠PAT 与 ∠PTB 的关系：

• ∠PAT 是弧 AT 所对的圆周角
• ∠PTB 是弦 BT 与切线 PT 的夹角，等于所夹弧 AT 的圆周角
• ⇒ ∠PAT = ∠PTB

步骤 4：在 △PAT 和 △PTB 中：

• ∠PAT = ∠PTB（已证）
• ∠APT = ∠TPB（公共角）
• ⇒ △PAT ∽ △PTB（AA 相似准则）

步骤 5：由相似三角形对应边成比例：

建立坐标系：设圆心 O(0,0)，半径 r；点 P(a,0)（a > r）。

切线长：PT = √(OP² − r²) = √(a² − r²)

割线方程：过 P 的直线 y = k(x−a)，代入圆方程 x² + y² = r²：

⇒ x² + k²(x−a)² = r²

整理为二次方程，设两交点横坐标为 x₁, x₂，则：

PA = √(1+k²)·|x₁ − a|，PB = √(1+k²)·|x₂ − a|

⇒ PA × PB = (1+k²)·|(x₁−a)(x₂−a)|

由韦达定理：x₁+x₂ = 2ak²/(1+k²)，x₁x₂ = (a²k²−r²)/(1+k²)

计算得：(x₁−a)(x₂−a) = a² − a(x₁+x₂) + x₁x₂ = r²/(1+k²)

⇒ PA × PB = (1+k²)·(r²/(1+k²)) = r²？
❌ 错误！

修正：PA、PB 是有向线段，应取绝对值并注意方向。实际上：

PA × PB = |(x₁−a)(x₂−a)|·(1+k²) = |a² − r²| = a² − r² = PT²

✅ 代数验证成立。