高数费马定理是什么-高数费马定理释义

高数里的费马定理，说白了就是看一个函数能不能直接求导。别整那些绕嘴的“极值条件”，大家最关心啥就是：变量 $x$ 略微变动一点点时，$f(x)$ 会不会变，变得快不快，变得慢不快。
要是函数光滑连续，这难题实际上超级好办，不用去搞那些复杂的链式法则推导，直接套用公式就行。 先说结论，千万别记成“全导数等于 0"。
这是最好办让人迷糊的地方。费马定理讲的是单变量函数。你手里拿一个函数 $F(x)$，要是它在某点 $x_0$ 可导，并且导数不为 0，那这一点的切线斜率肯定不是水平线。
要是导数恰好是 0，那只能说明函数在这点附近既不增也不减，是个“临界点”，可能是局部极大值，也可能是局部极小值，就连是个拐点，彻底没法从导数数值本身判断它到底是峰还是谷。
故此，结论不是“存有极值”，而是“由极值点导数为 0"。
这个逻辑链条务必理清，否则做题时好办晕头转向。 那这个定理到底如何用呢？实际上就两步走。
第一步算导数，第二步验证。
第一步就是一般/平平的求导，没难题。
第二步就是看算出来的 $f'(x_0)$ 是不是 0。
要是是，那 $x_0$ 就是个候选点。但这还只是个候选，你得接着往后想，用二阶导数要么一阶导数的符号来验证，看看这个“候选点”是不是极端点。 举个例子吧。寻思那个经典的 $y = x^2$。
这一道初中生都会，但我在想如何把它讲得有点味道，不像是背公式。我们求导，$y'$ 等于 $2x$。目前找个点，比如 $x = 1$。代入进去，导数 $y' = 2 times 1 = 2$。
这个数等于 0 吗？等于 0 啊？不对，2 不等于 0。
故此 $x=1$ 不是极值点。
这挺正常，$x=1$ 之后函数还在一直往右走，没回头。再换个点，比如 $x = -1$，导数 $y' = -2$。也不是 0。
这说明啥呢？说明这个抛物线是个对称的拱门，中间最低点 $x=0$ 才是唯一极值点。你不能随意往左边走，$x=1$ 没道理是极值点，要不就函数在 $x=1$ 左边就启动掉头了。 这里有个细节要注意，就是定义域和可导性。费马定理适用的前提是函数在点 $x_0$ 处务必连续，并且可导。
要是函数在 $x_0$ 处不可导，比如绝对值函数 $y = |x|$ 在 $x=0$ 处，导数根本不存有，那自然也就谈不上导数为 0 了。自然，可导并不一定意味着连续，但可导必然意味着连续。
故此，要是在求导后发现导数为 0，但原函数在该点不连续（这种情况极少见，一般能够忽略），那这个点自然也不是极值点。
比如 $f(x) = x$ 在 $x=0$ 处可导，导数为 1，不为 0；但在 $x to -infty$ 时函数趋向负无穷，看似没“端点”，实际上它本身就是单调递增的。费马定理限定了它只能在某一点，不能无限延伸。 再举个反例，看看要是导数不为 0 又如何判断。
比如 $y = e^x$。导数是 $e^x$，一辈子不为 0。
这个函数从 0 启动一直往上爬，没有“极值”可言。出于“极值”意味着左右两边要“打架”，一边大一边小。
要是导数一直正着走，说明整个函数都在单调上升，哪儿也没有让函数“停下来”要么“突然掉头”。
故此，要是求导后导数恒不为 0，那根本能够断定没有驻点，自然也没有极值点。 这里的数据有点意思。
比如 $y = sin x$。在 $x = frac{pi}{2}$ 处，导数 $cos(frac{pi}{2}) = 0$，这时候函数确实有极值。而在 $x = 0$ 处，导数是 1，不是 0，函数在这里是单调递增的。我们知道 $sin x$ 在 $0$ 到 $frac{pi}{2}$ 之间是上升的，在 $frac{pi}{2}$ 到 $pi$ 之间是下降的，故此在 $frac{pi}{2}$ 处确实是个“山峰”。
要是我们在 $x = frac{pi}{3}$ 处，导数是 $frac{sqrt{3}}{2}$，也不是 0，函数还在爬坡；到了 $x = frac{2pi}{3}$，导数是 $-frac{sqrt{3}}{2}$，启动下坡了。
这个从正数变到负数的过程，就是函数“顶点”形成的过程，导数的零点就是那个顶点。 有些同学可能会想，难道导数不是 0 的地方，函数就不是极值点吗？不一定，但一般不是。极值点一般是导数的“停顿点”要么“转折点”。
要是导数在 $x_0$ 等于 0，说明动量归零了。
要是导数不等于 0，说明动量还在，物体还在运动，不可能在运动过程中突然自己停下来变出来个极值点（要不就那是个瞬间即逝的点，但在可导的函数里，这一般意味着它是单调的）。 总结一下，费马定理就是一个筛子。把函数变出来，问它在那个特定位置有没有“变平”（导数为 0）。有，就盯着它；没有，就放过它。至于这个“平”的点到底是高点还是低点，还得用二次泰勒展开要么一阶导数的正负号来“肉眼看”。别怕，高数别看花哨，但核心逻辑就是：算导，看零点，再判断。
只要别把“极值点”和“驻点”搞混了，别把“一阶导”和“二阶导”的关系弄反了，难题就解决了。
这实际上就是一道题，不用写长篇大论的公式，就是这样一个好办的思维过程。