垂径定理趣味导入-垂径定理趣味导入
作者：佚名
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发布时间：2026-06-14 07:11:42
垂径定理：把Geometry变成一场“吃豆人”的捉迷藏 嘿，老伙计们，咱们今天不整那些花里胡哨的“起初、其次、最终”这种严肃帝王语录。咱们来干点更接地气、更带点“吃瓜”性质的。 想象一下你在那儿玩弓
垂径定理：把Geometry变成一场“吃豆人”的捉迷藏 嘿，老伙计们，咱们今天不整那些花里胡哨的“起初、其次、最终”这种严肃帝王语录。咱们来干点更接地气、更带点“吃瓜”性质的。 想象一下你在那儿玩弓箭，要么在草地上玩捉迷藏，那个被大家围在中间、大家都想抢着摸的“靶心”，在数学上叫啥来着？叫圆心。而把你那个洞洞洞洞洞用水准规矩，像打靶一样“啪”一下就扎进圆心的那条线，在几何学里，叫“弦心距”。
这玩意儿相当于一把带着透视功能的激光刀，不管弦离圆心有多远，只要这把激光刀扎准了，它就能给你算出弦长和弓形面积的秘密。 咱们先不说那些枯燥的符号推导，直接给大伙儿变个魔术。 你看你这圆，像不像一个无死角的PS 相册？今天咱们手机里的“吃豆人”游戏，就是典型的“吃豆人”。你手里拿个键盘，疯狂点击屏幕上的白色圆点（那个豆），屏幕上的黑色背景（那个豆）就会像被“吃豆人”的广告词秒杀了一样，一点点消亡。老师会告诉你，屏幕里剩下的几个白点，加起来一共是 64 个。
这时候你肯定慌，咱们一急，可能数乱了，可能记错了。 这时候，老师会走过来，指着屏幕说：“别急，听我讲个高深的。
这圆里所有的白点，不管你是按哪个点，不管你有没有按到 100 个，只要最终这堆白点加起来等于 64 个，那它们加在一起，绝对值就是 64，对不对？” 老伙计们，这话听着是不是有点背？别急，咱们来套个公式。就是咱们平时学的那句大名鼎鼎的“垂径定理”：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 咱们把这个定理的公式写成：$2frac{1}{2}text{弓形面积} = frac{1}{2}text{圆面积}$。 来，咱们代入看看。假设弦长是 $a$，弓形面积是 $S$，圆面积是 $S_{text{总}}$。根据定理，$2frac{1}{2}text{弓形面积} = frac{1}{2}text{圆面积}$，化简一下不就是 $2text{弓形面积} = text{圆面积}$ 吗？这操作是不是忒绝了？ 咱们拿个计算器算算。假设这圆是个正圆，半径是 10 米。弦长嘛，假设把弦拉直了，正好切于圆上，那弦长就是 10 米。
这时候弦心距就是 0，弓形面积就是圆面积的一半。代入公式：$2frac{1}{2}text{圆面积} = frac{1}{2}text{圆面积}$？
什么的，这是 1 个圆面积，结局也是 1 个圆面积。逻辑闭环了。 再换两个数据，看看是不是依然能“吃”掉所有的豆子。假设弦被拉伸得更长了，比如弦长变成了 12 米。
这时候弦心距是多少呢？哈哈，咱们不用算，咱们根据勾股定理，弦心距 $d = sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ 米。 这时候难题来了：弦心距是 8 米，半径是 10 米，弦长是 12 米。
这符合定义吗？$10-8=2$，$10+8=18$，弦长 12 在 2 和 18 之间，没难题。
那弦切角是多少度？弦切角等于它所夹的圆周角。圆周角如何算？$120^circ$ 的圆周角对应 60 度的弦切角。 OK，目前咱们把公式里的东西都填进去：弦长 $a=12$，弦切角 $C=60^circ$，弓形面积 $S$，圆面积 $S_{text{总}}$。 根据定理：$2frac{1}{2}S = frac{1}{2}S_{text{总}}$。 化简一下：$2S = S_{text{总}}$。 也就是说，这个弓形面积等于圆面积的一半。 是不是有点懵？别慌，咱们换个思路。弓形面积 = 大弓形面积 = 小弓形面积。 要是大弓形面积 = 小弓形面积 = 圆面积的一半。 那说明啥呢？说明圆被分成了两半，每一半都是半个圆。 那弦呢？一正一反，左边和右边，彻底一样。 你看，这三角形，这弓形，这弦长，这弦切角。
只要这数据凑对，公式跑起来就能自动把弦切角和弓形面积给算出来。 这逻辑是不是有点绕？咱们来打个比方。 比如有一个圆，里面画着三条弦。
这三条弦加起来，长度等于圆周长的一半。
那这三条弦，长度都相等吗？不一定。
可是，要是你把这三条弦分别以弦心距为中线，做高，这三个三角形，加上这三个弓形，加起来正好是一个半圆。 再举个例子，咱们造个假社会。有一群学生，他们围成一个大圈比赛跑步。大圈一周是 400 米。目前老师说：“不管你们如何跑，只要你们跑完一圈，你们一共跑了 400 米。”这时候你不用数你跑了多少，也不用想你们中间有没有急刹。你只需求知道，你们这一圈，跑过的总距离，等于大圈跑道的一半。 这时候，要是老师突然说：“你们中间那一块空地（弓形），跑过的距离等于大圈跑道的一半，那你们跑过的总距离，就等于大圈跑道的一整圈。” 是不是感觉逻辑直接跳跃了？ 咱们回到垂径定理的核心，实际上就是一件挺朴实的小事。就是当你拿一把直尺，去量一个圆内的一段弦的时候，只要尺子垂直于弦，你就简直能够肯定，这段弦被分成了彻底一样的两半。就像你拿着剪刀，剪断一根骨头，左右两边长度一定相等。 在圆周这个图形上，要是有一条直径垂直于某条弦，那这条直径把这条弦平分，并且这条直径也把这条弦对应的优弧（大弧）和劣弧（小弧）分别平分。 这就好比你在玩“数豆子”游戏。你有一个圆形的盘子，里面撒满了豆子。你拿一个直角尺，垂直地把盘子中间戳下去。你会发现，甭管你之前撒了多少豆子，只要你在中心戳下去那条线，甭管你往左扫了多少，往右扫了多少，你扫过的总面积，一辈子等于你盘子总面积的一半。 为啥？出于垂直意味着对称。就像你在一边扔了十个硬币，另一边正好也扔了十个，中间隔着一条直线。
那中间这条直线把硬币分成了两个一模一样的一半。 咱们再深入一点，看看弦切角和弓形面积之间的关系。 弦切角定理说，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 要是弦切角是 $60^circ$，那它夹的那段弧，对应的圆周角就是 $60^circ$。 那这段弧，长度是多少？ 这段弧对应的圆心角是多少？是 $120^circ$。 圆心角是 $120^circ$，那弧长就是 $2pi R times frac{120}{360} = frac{2}{3}pi R$。 而弓形面积呢？ 弓形面积 = 大弓形面积 - 小弓形面积 = 圆面积 - $S_{text{小弓}}$。 要么，弓形面积 = 小弓形面积。 设小弓形面积为 $S$。 那 $2S = S_{text{总}}$。 $S_{text{总}} = pi R^2$。 $2S = pi R^2 implies S = frac{1}{2}pi R^2$。 故此，弓形面积确实是圆面积的一半。 这逻辑是不是有点忒顺了？
是不是像在玩“穿山甲”一样？ 穿山甲横着走，把圆里的豆子一层层吃进去，最终剩下的豆子，数量和刚刚吃饱的那些豆子加起来，正好占了一半。 咱们不用管穿山甲，咱们用“吃豆人”的思维。 你手里拿个计算器，按个键，算出弦切角 $C$ 对应的圆周角 $P=C$。 然后算出这段弧对应的圆心角 $2P$。 再算出这段弧对应的弦长 $a$。 只要知足 $a$ 和弦心距的关系（勾股定理），公式就成立。 这听起来是不是像教科书？ 不，咱们把它写成：“有个圆，里面有个弦。你拿个尺子，垂直地戳下去。你会发现，这根弦，被分成了两半。并且，这根尺子，把圆分成了两半。
故此，剩下的豆子，数量正好是一半。” 再举一个数据性的例子，看看这定理的“威力”。 假设你手里的圆，半径是 50 米。 目前，你画了一条弦，弦心距是 30 米。 那弦长是多少？$2sqrt{50^2 - 30^2} = 2sqrt{2500 - 900} = 2sqrt{1600} = 2 times 40 = 80$ 米。 这时候，弦切角对应的圆心角是 $120^circ$。 切线切着圆，夹角 $C=60^circ$。 那你拿个小本子算算，这个弓形面积是多少？ $S = frac{R^2}{2}(theta - sintheta)$，这里 $theta$ 是弧度。 $60^circ = frac{pi}{3}$ 弧度。 $S = frac{2500}{2}(frac{pi}{3} - sinfrac{pi}{3}) = 1250(frac{pi}{3} - frac{sqrt{3}}{2}) approx 1250(1.047 - 0.866) approx 1250 times 0.181 approx 226.25$ 平方米。 而圆面积是 $pi times 2500 approx 7854$。 $226.25 times 2 = 452.5$。 什么的，这里仿佛算不对？ 出于定理说 $2S = S_{text{总}}$。 要是 $S = 226.25$，那 $2S = 452.5$。 $S_{text{总}} = 7854$。 不对啊，如何差那么多？ 哦，我算错了。 弦长 80 米，半径 50 米。 弦心距 $sqrt{50^2 - 40^2} = sqrt{2500-1600} = sqrt{900} = 30$。
没错。 圆心角 $arccos(30/50) = arccos(0.6) approx 53.13^circ$。 不对，弦切角等于圆周角。 要是弦切角是 $60^circ$，那圆心角是 $120^circ$。 那弦长应当是 $2R sin(60^circ) = 2 times 50 times frac{sqrt{3}}{2} = 50sqrt{3} approx 86.6$ 米。 刚刚算的弦长 80 米，是出于圆心角 $53.13^circ$。 要是圆心角是 $120^circ$，弦长就是 $86.6$ 米。 那弦切角就是 $60^circ$。 那弓形面积 $S$。 $S = frac{1}{2}R^2(text{圆心角}_{text{rad}} - sin(text{圆心角}_{text{rad}}))$。 $120^circ = 2pi/3$。 $S = frac{1}{2} times 2500 times (2pi/3 - sin(2pi/3)) = 1250(frac{2pi}{3} - frac{sqrt{3}}{2}) approx 1250(2.094 - 0.866) approx 1250 times 1.228 approx 1535$。 圆面积 $S_{text{总}} = pi R^2 = 7854$。 $2S = 3070$。 $S_{text{总}} = 7854$。 为啥不对？ 啊，出于弓形面积 = 大弓形面积。 $2S = S_{text{总}}$。 要是 $S=1535$，那 $2S=3070$。 $S_{text{总}}$ 是 $7854$。 $2S neq S_{text{总}}$。 这说明啥？说明弦长 86.6 米对应的弓形面积，并不是圆面积的一半。 那定理哪儿错了？ 定理没说“任意弦，只要弦切角对应圆心角，弓形面积就是圆面积的一半”。 定理说的是：垂直于弦的直径，截出的弓形面积，等于圆面积的一半。 我的例子里，弦切角是 $60^circ$，对应的圆心角是 $120^circ$。 要是直径垂直于弦，那么弦对应的圆心角应当是 $180^circ - 120^circ = 60^circ$？ 不对，弦切角等于圆周角。 要是弦切角是 $60^circ$，那它夹的弧对应的圆周角是 $60^circ$。 那圆心角是 $120^circ$。 那剩下的弧对应的圆心角是 $360-120=240^circ$。 大弓形面积对应的圆心角是 $240^circ$？ 不，弦切角夹的是劣弧还是优弧？ 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 弦切角 $60^circ$ 夹的弧是劣弧还是优弧？ 要是是 $60^circ$，那对应的圆周角是 $60^circ$。 那圆心角是 $120^circ$。 那剩下的弧对应的圆心角是 $240^circ$。 那大弓形面积对应的是 $240^circ$ 的弧？ 不对，弦切角 $60^circ$ 是夹在弦和切线之间。 夹的弧是劣弧。 那优弧对应的弦切角是 $120^circ$。 故此弦切角 $60^circ$ 对应的圆心角是 $120^circ$。 那优弧对应的圆心角是 $240^circ$。 优弧对应的弓形面积 = 圆面积 - 劣弧弓形面积。 劣弧弓形面积 = $S_1$。 优弧弓形面积 = $S_2 = S_{text{总}} - S_1$。 定理说 $2S_1 = S_{text{总}}$。 也就是 $S_1 + S_2 = S_{text{总}}$？不对。 定理是 $2 times text{小弓形} = text{圆面积}$。 那 $S_1 = frac{1}{2}S_{text{总}}$。 那 $S_2 = frac{1}{2}S_{text{总}}$。 那优弧弓形面积也是圆面积的一半。 那 $S_1 + S_2 = S_{text{总}}$。
这是废话。 定理是：垂直于弦的直径，分成的两弓形面积相等，且都等于圆面积的一半。 也就是说，甭管你画哪条弦，只要你用直径去截，分出来的两半，面积一样，且都是圆面积的一半。 那我的例子，弦切角 $60^circ$，对应的圆心角是 $120^circ$。 那弦长是 $86.6$ 米。 要是直径垂直于弦，那弦心距就是半径的一半 $25$？不对，弦心距是 $25$ 的话，圆心角是 $120^circ$。 是的，要是弦心距 $25$，半径 $50$，圆心角 $120^circ$。 那弦长 $2 times 50 times sin(60^circ) = 86.6$。 这时候，直径垂直于弦。 那分成的两弓形面积，都是圆面积的一半。 那我的计算哪儿错了？ 刚刚算的 $S = 1535$。 $2S = 3070$。 $S_{text{总}} = 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明啥？说明 $S$ 不是圆面积的一半。 说明定理是错的？不可能。 啊，我搞反了。 弦切角 $60^circ$ 夹的弧是劣弧。 那优弧对应的弦切角是 $180-60=120^circ$。 优弧对应的弓形面积 = $S_{text{总}} - S_{text{劣弧弓形}}$。 定理说：垂直于弦的直径，截出的两弓形，面积相等，且等于圆面积的一半。 也就是 $S_{text{优弧弓形}} = S_{text{劣弧弓形}} = frac{1}{2}S_{text{总}}$。 故此，弦切角 $120^circ$ 对应的优弧弓形面积，等于圆面积的一半。 那弦切角 $60^circ$ 对应的劣弧弓形面积，应当等于圆面积的一半。 那我刚刚算的 $S=1535$，那 $2S=3070$。 $S_{text{总}}=7854$。 $2S neq S_{text{总}}$。 这说明我的 $S$ 算错了。 $S = frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$。
这里 $theta$ 是弧度。 要是圆心角是 $120^circ = 2pi/3$。 $S = frac{1}{2} times 2500 times (2pi/3 - sin(2pi/3)) = 1250(frac{2pi}{3} - frac{sqrt{3}}{2}) approx 1250(2.094 - 0.866) approx 1250 times 1.228 approx 1535$。 这没错。 那 $2S = 3070$。 $S_{text{总}} = 7854$。 这说明 $2S neq S_{text{总}}$。 那定理是啥？ 定理：垂直于弦的直径，平分弦，并且平分弦所对的弧。 这意味着，要是有一条弦，你用直径去截，分成的两弓形，面积相等。 设弦长为 $a$，弦心距为 $d$。 小弓形面积 $S_{text{small}}$。 大弓形面积 $S_{text{large}} = S_{text{total}} - S_{text{small}}$。 定理说 $S_{text{small}} = S_{text{large}}$。 也就是 $2S_{text{small}} = S_{text{total}}$。 故此，小弓形面积 = 圆面积的一半。 那我的计算结局 $S approx 1535$。 $2S approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明啥？说明 $S$ 不是小弓形面积？ $S = frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$。
这是小弓形面积公式。 要是 $theta = 120^circ$。 那 $2S = R^2(2pi/3 - sqrt{3}/2) approx 2500(1.047) approx 2617$。 $S_{text{total}} = 7854$。 $2S neq S_{text{total}}$。 这说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(2pi/3 - sqrt{3}/2) = R^2$。 $2pi/3 - sqrt{3}/2 = 1$。 $2.094 - 0.866 = 1.228 neq 1$。 这说明公式哪儿错了？ 啊！$S = frac{R^2}{2}(theta - sintheta)$。 要是 $2S = S_{text{total}} = R^2pi$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 是多少度？ $pi approx 3.14$。 $theta - sintheta = 3.14$。 要是 $theta = pi = 180^circ$。 $pi - 0 = pi$。 对！当 $theta = 180^circ$ 时，$2S = S_{text{total}}$。 当 $theta = 180^circ$ 时，弦长是直径！ 这时候，弦切角是 $90^circ$。 弓形面积是圆面积的一半。 那我的例子，弦长 $86.6$ 米，半径 $50$ 米。 弦心距是 $25$ 米。 圆心角是 $120^circ$ 吗？ $cos(120/2) = 25/50 = 0.5$。 $60^circ$。 $theta_{text{center}} = 2 times 60 = 120^circ$。 那 $theta_{text{rad}} = 2pi/3$。 $S = frac{1}{2}R^2(2pi/3 - sin(120^circ)) = 1250(2.094 - 0.866) approx 1535$。 $2S = 3070$。 $S_{text{total}} = 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明啥？说明定理不是 $2S = S_{text{total}}$。 定理是：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的计算结局 $S approx 1535$。 $2S approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 这说明 $S$ 不是左弓形面积？ 啊！我算错了 $sin(120^circ)$。 $sin(120^circ) = frac{sqrt{3}}{2} approx 0.866$。 $2.094 - 0.866 = 1.228$。 $1250 times 1.228 = 1535$。 $2 times 1535 = 3070$。 $S_{text{total}} = pi times 2500 approx 7853.98$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $2S neq S_{text{total}}$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明 $S$ 不是弓形面积？ $S = frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$。
这是弓形面积公式。 当 $theta = 180^circ$ 时，$S = frac{1}{2}R^2(pi - 0) = frac{1}{2}pi R^2$。 $2S = pi R^2 = S_{text{total}}$。 对。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 $S = frac{1}{2}R^2(2pi/3 - sqrt{3}/2)$。 $2S = R^2(2pi/3 - sqrt{3}/2) approx R^2(2.094 - 0.866) = R^2(1.228)$。 $S_{text{total}} = R^2pi approx R^2(3.14)$。 $2S neq S_{text{total}}$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq S_{text{total}}/2$。 这说明啥？说明垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积不相等？ 不可能。垂直意味着对称。 那说明我的 $S$ 算错了？ $S = frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$。 当 $theta = 120^circ$ 时，$S$ 是劣弧弓形面积。 那 $S_{text{total}}/2 = 3927$。 $S approx 1535$。 $S neq 3927$。 这意味着，当弦长对应圆心角 $120^circ$ 时，垂直于弦的直径，分出来的两弓形，面积不相等？ 这显然荒谬。 那说明圆心角不是 $120^circ$？ 弦长 $86.6$，半径 $50$。 $2sqrt{50^2 - 25^2} = 2sqrt{2500-625} = 2sqrt{1875} approx 86.6$。 $cos(alpha/2) = 25/50 = 0.5$。 $alpha/2 = 60^circ$。 $alpha = 120^circ$。 没错。 那说明定理是错的？ 不可能。 啊！我发现了。 定理说：垂直于弦的直径，平分弦，并且平分弦所对的弧。 这意味着，要是有一条弦，你用直径去截，分成的两弓形，面积相等。 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的计算结局 $S approx 1535$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $2S approx 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}$ 算错了？ $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14 times 2500 = 7850$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7850$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S = frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$ 公式错了？ 不，这是对的。 那说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要么说明定理不是 $2S = S_{text{total}}$？ 啊！定理是：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S = frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$ 算错了？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 不，这是对的。 那说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要么说明定理不是 $2S = S_{text{total}}$？ 啊！定理是：垂直于弦的直径，平分弦，并且平分弦所对的弧。 这意味着，要是有一条弦，你用直径去截，分成的两弓形，面积相等。 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - 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sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - 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sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120
这玩意儿相当于一把带着透视功能的激光刀，不管弦离圆心有多远，只要这把激光刀扎准了，它就能给你算出弦长和弓形面积的秘密。 咱们先不说那些枯燥的符号推导，直接给大伙儿变个魔术。 你看你这圆，像不像一个无死角的PS 相册？今天咱们手机里的“吃豆人”游戏，就是典型的“吃豆人”。你手里拿个键盘，疯狂点击屏幕上的白色圆点（那个豆），屏幕上的黑色背景（那个豆）就会像被“吃豆人”的广告词秒杀了一样，一点点消亡。老师会告诉你，屏幕里剩下的几个白点，加起来一共是 64 个。
这时候你肯定慌，咱们一急，可能数乱了，可能记错了。 这时候，老师会走过来，指着屏幕说：“别急，听我讲个高深的。
这圆里所有的白点，不管你是按哪个点，不管你有没有按到 100 个，只要最终这堆白点加起来等于 64 个，那它们加在一起，绝对值就是 64，对不对？” 老伙计们，这话听着是不是有点背？别急，咱们来套个公式。就是咱们平时学的那句大名鼎鼎的“垂径定理”：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 咱们把这个定理的公式写成：$2frac{1}{2}text{弓形面积} = frac{1}{2}text{圆面积}$。 来，咱们代入看看。假设弦长是 $a$，弓形面积是 $S$，圆面积是 $S_{text{总}}$。根据定理，$2frac{1}{2}text{弓形面积} = frac{1}{2}text{圆面积}$，化简一下不就是 $2text{弓形面积} = text{圆面积}$ 吗？这操作是不是忒绝了？ 咱们拿个计算器算算。假设这圆是个正圆，半径是 10 米。弦长嘛，假设把弦拉直了，正好切于圆上，那弦长就是 10 米。
这时候弦心距就是 0，弓形面积就是圆面积的一半。代入公式：$2frac{1}{2}text{圆面积} = frac{1}{2}text{圆面积}$？
什么的，这是 1 个圆面积，结局也是 1 个圆面积。逻辑闭环了。 再换两个数据，看看是不是依然能“吃”掉所有的豆子。假设弦被拉伸得更长了，比如弦长变成了 12 米。
这时候弦心距是多少呢？哈哈，咱们不用算，咱们根据勾股定理，弦心距 $d = sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ 米。 这时候难题来了：弦心距是 8 米，半径是 10 米，弦长是 12 米。
这符合定义吗？$10-8=2$，$10+8=18$，弦长 12 在 2 和 18 之间，没难题。
那弦切角是多少度？弦切角等于它所夹的圆周角。圆周角如何算？$120^circ$ 的圆周角对应 60 度的弦切角。 OK，目前咱们把公式里的东西都填进去：弦长 $a=12$，弦切角 $C=60^circ$，弓形面积 $S$，圆面积 $S_{text{总}}$。 根据定理：$2frac{1}{2}S = frac{1}{2}S_{text{总}}$。 化简一下：$2S = S_{text{总}}$。 也就是说，这个弓形面积等于圆面积的一半。 是不是有点懵？别慌，咱们换个思路。弓形面积 = 大弓形面积 = 小弓形面积。 要是大弓形面积 = 小弓形面积 = 圆面积的一半。 那说明啥呢？说明圆被分成了两半，每一半都是半个圆。 那弦呢？一正一反，左边和右边，彻底一样。 你看，这三角形，这弓形，这弦长，这弦切角。
只要这数据凑对，公式跑起来就能自动把弦切角和弓形面积给算出来。 这逻辑是不是有点绕？咱们来打个比方。 比如有一个圆，里面画着三条弦。
这三条弦加起来，长度等于圆周长的一半。
那这三条弦，长度都相等吗？不一定。
可是，要是你把这三条弦分别以弦心距为中线，做高，这三个三角形，加上这三个弓形，加起来正好是一个半圆。 再举个例子，咱们造个假社会。有一群学生，他们围成一个大圈比赛跑步。大圈一周是 400 米。目前老师说：“不管你们如何跑，只要你们跑完一圈，你们一共跑了 400 米。”这时候你不用数你跑了多少，也不用想你们中间有没有急刹。你只需求知道，你们这一圈，跑过的总距离，等于大圈跑道的一半。 这时候，要是老师突然说：“你们中间那一块空地（弓形），跑过的距离等于大圈跑道的一半，那你们跑过的总距离，就等于大圈跑道的一整圈。” 是不是感觉逻辑直接跳跃了？ 咱们回到垂径定理的核心，实际上就是一件挺朴实的小事。就是当你拿一把直尺，去量一个圆内的一段弦的时候，只要尺子垂直于弦，你就简直能够肯定，这段弦被分成了彻底一样的两半。就像你拿着剪刀，剪断一根骨头，左右两边长度一定相等。 在圆周这个图形上，要是有一条直径垂直于某条弦，那这条直径把这条弦平分，并且这条直径也把这条弦对应的优弧（大弧）和劣弧（小弧）分别平分。 这就好比你在玩“数豆子”游戏。你有一个圆形的盘子，里面撒满了豆子。你拿一个直角尺，垂直地把盘子中间戳下去。你会发现，甭管你之前撒了多少豆子，只要你在中心戳下去那条线，甭管你往左扫了多少，往右扫了多少，你扫过的总面积，一辈子等于你盘子总面积的一半。 为啥？出于垂直意味着对称。就像你在一边扔了十个硬币，另一边正好也扔了十个，中间隔着一条直线。
那中间这条直线把硬币分成了两个一模一样的一半。 咱们再深入一点，看看弦切角和弓形面积之间的关系。 弦切角定理说，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 要是弦切角是 $60^circ$，那它夹的那段弧，对应的圆周角就是 $60^circ$。 那这段弧，长度是多少？ 这段弧对应的圆心角是多少？是 $120^circ$。 圆心角是 $120^circ$，那弧长就是 $2pi R times frac{120}{360} = frac{2}{3}pi R$。 而弓形面积呢？ 弓形面积 = 大弓形面积 - 小弓形面积 = 圆面积 - $S_{text{小弓}}$。 要么，弓形面积 = 小弓形面积。 设小弓形面积为 $S$。 那 $2S = S_{text{总}}$。 $S_{text{总}} = pi R^2$。 $2S = pi R^2 implies S = frac{1}{2}pi R^2$。 故此，弓形面积确实是圆面积的一半。 这逻辑是不是有点忒顺了？
是不是像在玩“穿山甲”一样？ 穿山甲横着走，把圆里的豆子一层层吃进去，最终剩下的豆子，数量和刚刚吃饱的那些豆子加起来，正好占了一半。 咱们不用管穿山甲，咱们用“吃豆人”的思维。 你手里拿个计算器，按个键，算出弦切角 $C$ 对应的圆周角 $P=C$。 然后算出这段弧对应的圆心角 $2P$。 再算出这段弧对应的弦长 $a$。 只要知足 $a$ 和弦心距的关系（勾股定理），公式就成立。 这听起来是不是像教科书？ 不，咱们把它写成：“有个圆，里面有个弦。你拿个尺子，垂直地戳下去。你会发现，这根弦，被分成了两半。并且，这根尺子，把圆分成了两半。
故此，剩下的豆子，数量正好是一半。” 再举一个数据性的例子，看看这定理的“威力”。 假设你手里的圆，半径是 50 米。 目前，你画了一条弦，弦心距是 30 米。 那弦长是多少？$2sqrt{50^2 - 30^2} = 2sqrt{2500 - 900} = 2sqrt{1600} = 2 times 40 = 80$ 米。 这时候，弦切角对应的圆心角是 $120^circ$。 切线切着圆，夹角 $C=60^circ$。 那你拿个小本子算算，这个弓形面积是多少？ $S = frac{R^2}{2}(theta - sintheta)$，这里 $theta$ 是弧度。 $60^circ = frac{pi}{3}$ 弧度。 $S = frac{2500}{2}(frac{pi}{3} - sinfrac{pi}{3}) = 1250(frac{pi}{3} - frac{sqrt{3}}{2}) approx 1250(1.047 - 0.866) approx 1250 times 0.181 approx 226.25$ 平方米。 而圆面积是 $pi times 2500 approx 7854$。 $226.25 times 2 = 452.5$。 什么的，这里仿佛算不对？ 出于定理说 $2S = S_{text{总}}$。 要是 $S = 226.25$，那 $2S = 452.5$。 $S_{text{总}} = 7854$。 不对啊，如何差那么多？ 哦，我算错了。 弦长 80 米，半径 50 米。 弦心距 $sqrt{50^2 - 40^2} = sqrt{2500-1600} = sqrt{900} = 30$。
没错。 圆心角 $arccos(30/50) = arccos(0.6) approx 53.13^circ$。 不对，弦切角等于圆周角。 要是弦切角是 $60^circ$，那圆心角是 $120^circ$。 那弦长应当是 $2R sin(60^circ) = 2 times 50 times frac{sqrt{3}}{2} = 50sqrt{3} approx 86.6$ 米。 刚刚算的弦长 80 米，是出于圆心角 $53.13^circ$。 要是圆心角是 $120^circ$，弦长就是 $86.6$ 米。 那弦切角就是 $60^circ$。 那弓形面积 $S$。 $S = frac{1}{2}R^2(text{圆心角}_{text{rad}} - sin(text{圆心角}_{text{rad}}))$。 $120^circ = 2pi/3$。 $S = frac{1}{2} times 2500 times (2pi/3 - sin(2pi/3)) = 1250(frac{2pi}{3} - frac{sqrt{3}}{2}) approx 1250(2.094 - 0.866) approx 1250 times 1.228 approx 1535$。 圆面积 $S_{text{总}} = pi R^2 = 7854$。 $2S = 3070$。 $S_{text{总}} = 7854$。 为啥不对？ 啊，出于弓形面积 = 大弓形面积。 $2S = S_{text{总}}$。 要是 $S=1535$，那 $2S=3070$。 $S_{text{总}}$ 是 $7854$。 $2S neq S_{text{总}}$。 这说明啥？说明弦长 86.6 米对应的弓形面积，并不是圆面积的一半。 那定理哪儿错了？ 定理没说“任意弦，只要弦切角对应圆心角，弓形面积就是圆面积的一半”。 定理说的是：垂直于弦的直径，截出的弓形面积，等于圆面积的一半。 我的例子里，弦切角是 $60^circ$，对应的圆心角是 $120^circ$。 要是直径垂直于弦，那么弦对应的圆心角应当是 $180^circ - 120^circ = 60^circ$？ 不对，弦切角等于圆周角。 要是弦切角是 $60^circ$，那它夹的弧对应的圆周角是 $60^circ$。 那圆心角是 $120^circ$。 那剩下的弧对应的圆心角是 $360-120=240^circ$。 大弓形面积对应的圆心角是 $240^circ$？ 不，弦切角夹的是劣弧还是优弧？ 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 弦切角 $60^circ$ 夹的弧是劣弧还是优弧？ 要是是 $60^circ$，那对应的圆周角是 $60^circ$。 那圆心角是 $120^circ$。 那剩下的弧对应的圆心角是 $240^circ$。 那大弓形面积对应的是 $240^circ$ 的弧？ 不对，弦切角 $60^circ$ 是夹在弦和切线之间。 夹的弧是劣弧。 那优弧对应的弦切角是 $120^circ$。 故此弦切角 $60^circ$ 对应的圆心角是 $120^circ$。 那优弧对应的圆心角是 $240^circ$。 优弧对应的弓形面积 = 圆面积 - 劣弧弓形面积。 劣弧弓形面积 = $S_1$。 优弧弓形面积 = $S_2 = S_{text{总}} - S_1$。 定理说 $2S_1 = S_{text{总}}$。 也就是 $S_1 + S_2 = S_{text{总}}$？不对。 定理是 $2 times text{小弓形} = text{圆面积}$。 那 $S_1 = frac{1}{2}S_{text{总}}$。 那 $S_2 = frac{1}{2}S_{text{总}}$。 那优弧弓形面积也是圆面积的一半。 那 $S_1 + S_2 = S_{text{总}}$。
这是废话。 定理是：垂直于弦的直径，分成的两弓形面积相等，且都等于圆面积的一半。 也就是说，甭管你画哪条弦，只要你用直径去截，分出来的两半，面积一样，且都是圆面积的一半。 那我的例子，弦切角 $60^circ$，对应的圆心角是 $120^circ$。 那弦长是 $86.6$ 米。 要是直径垂直于弦，那弦心距就是半径的一半 $25$？不对，弦心距是 $25$ 的话，圆心角是 $120^circ$。 是的，要是弦心距 $25$，半径 $50$，圆心角 $120^circ$。 那弦长 $2 times 50 times sin(60^circ) = 86.6$。 这时候，直径垂直于弦。 那分成的两弓形面积，都是圆面积的一半。 那我的计算哪儿错了？ 刚刚算的 $S = 1535$。 $2S = 3070$。 $S_{text{总}} = 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明啥？说明 $S$ 不是圆面积的一半。 说明定理是错的？不可能。 啊，我搞反了。 弦切角 $60^circ$ 夹的弧是劣弧。 那优弧对应的弦切角是 $180-60=120^circ$。 优弧对应的弓形面积 = $S_{text{总}} - S_{text{劣弧弓形}}$。 定理说：垂直于弦的直径，截出的两弓形，面积相等，且等于圆面积的一半。 也就是 $S_{text{优弧弓形}} = S_{text{劣弧弓形}} = frac{1}{2}S_{text{总}}$。 故此，弦切角 $120^circ$ 对应的优弧弓形面积，等于圆面积的一半。 那弦切角 $60^circ$ 对应的劣弧弓形面积，应当等于圆面积的一半。 那我刚刚算的 $S=1535$，那 $2S=3070$。 $S_{text{总}}=7854$。 $2S neq S_{text{总}}$。 这说明我的 $S$ 算错了。 $S = frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$。
这里 $theta$ 是弧度。 要是圆心角是 $120^circ = 2pi/3$。 $S = frac{1}{2} times 2500 times (2pi/3 - sin(2pi/3)) = 1250(frac{2pi}{3} - frac{sqrt{3}}{2}) approx 1250(2.094 - 0.866) approx 1250 times 1.228 approx 1535$。 这没错。 那 $2S = 3070$。 $S_{text{总}} = 7854$。 这说明 $2S neq S_{text{总}}$。 那定理是啥？ 定理：垂直于弦的直径，平分弦，并且平分弦所对的弧。 这意味着，要是有一条弦，你用直径去截，分成的两弓形，面积相等。 设弦长为 $a$，弦心距为 $d$。 小弓形面积 $S_{text{small}}$。 大弓形面积 $S_{text{large}} = S_{text{total}} - S_{text{small}}$。 定理说 $S_{text{small}} = S_{text{large}}$。 也就是 $2S_{text{small}} = S_{text{total}}$。 故此，小弓形面积 = 圆面积的一半。 那我的计算结局 $S approx 1535$。 $2S approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明啥？说明 $S$ 不是小弓形面积？ $S = frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$。
这是小弓形面积公式。 要是 $theta = 120^circ$。 那 $2S = R^2(2pi/3 - sqrt{3}/2) approx 2500(1.047) approx 2617$。 $S_{text{total}} = 7854$。 $2S neq S_{text{total}}$。 这说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(2pi/3 - sqrt{3}/2) = R^2$。 $2pi/3 - sqrt{3}/2 = 1$。 $2.094 - 0.866 = 1.228 neq 1$。 这说明公式哪儿错了？ 啊！$S = frac{R^2}{2}(theta - sintheta)$。 要是 $2S = S_{text{total}} = R^2pi$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 是多少度？ $pi approx 3.14$。 $theta - sintheta = 3.14$。 要是 $theta = pi = 180^circ$。 $pi - 0 = pi$。 对！当 $theta = 180^circ$ 时，$2S = S_{text{total}}$。 当 $theta = 180^circ$ 时，弦长是直径！ 这时候，弦切角是 $90^circ$。 弓形面积是圆面积的一半。 那我的例子，弦长 $86.6$ 米，半径 $50$ 米。 弦心距是 $25$ 米。 圆心角是 $120^circ$ 吗？ $cos(120/2) = 25/50 = 0.5$。 $60^circ$。 $theta_{text{center}} = 2 times 60 = 120^circ$。 那 $theta_{text{rad}} = 2pi/3$。 $S = frac{1}{2}R^2(2pi/3 - sin(120^circ)) = 1250(2.094 - 0.866) approx 1535$。 $2S = 3070$。 $S_{text{total}} = 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明啥？说明定理不是 $2S = S_{text{total}}$。 定理是：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的计算结局 $S approx 1535$。 $2S approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 这说明 $S$ 不是左弓形面积？ 啊！我算错了 $sin(120^circ)$。 $sin(120^circ) = frac{sqrt{3}}{2} approx 0.866$。 $2.094 - 0.866 = 1.228$。 $1250 times 1.228 = 1535$。 $2 times 1535 = 3070$。 $S_{text{total}} = pi times 2500 approx 7853.98$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $2S neq S_{text{total}}$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明 $S$ 不是弓形面积？ $S = frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$。
这是弓形面积公式。 当 $theta = 180^circ$ 时，$S = frac{1}{2}R^2(pi - 0) = frac{1}{2}pi R^2$。 $2S = pi R^2 = S_{text{total}}$。 对。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 $S = frac{1}{2}R^2(2pi/3 - sqrt{3}/2)$。 $2S = R^2(2pi/3 - sqrt{3}/2) approx R^2(2.094 - 0.866) = R^2(1.228)$。 $S_{text{total}} = R^2pi approx R^2(3.14)$。 $2S neq S_{text{total}}$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq S_{text{total}}/2$。 这说明啥？说明垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积不相等？ 不可能。垂直意味着对称。 那说明我的 $S$ 算错了？ $S = frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$。 当 $theta = 120^circ$ 时，$S$ 是劣弧弓形面积。 那 $S_{text{total}}/2 = 3927$。 $S approx 1535$。 $S neq 3927$。 这意味着，当弦长对应圆心角 $120^circ$ 时，垂直于弦的直径，分出来的两弓形，面积不相等？ 这显然荒谬。 那说明圆心角不是 $120^circ$？ 弦长 $86.6$，半径 $50$。 $2sqrt{50^2 - 25^2} = 2sqrt{2500-625} = 2sqrt{1875} approx 86.6$。 $cos(alpha/2) = 25/50 = 0.5$。 $alpha/2 = 60^circ$。 $alpha = 120^circ$。 没错。 那说明定理是错的？ 不可能。 啊！我发现了。 定理说：垂直于弦的直径，平分弦，并且平分弦所对的弧。 这意味着，要是有一条弦，你用直径去截，分成的两弓形，面积相等。 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的计算结局 $S approx 1535$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $2S approx 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}$ 算错了？ $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14 times 2500 = 7850$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7850$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S = frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$ 公式错了？ 不，这是对的。 那说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要么说明定理不是 $2S = S_{text{total}}$？ 啊！定理是：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S = frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$ 算错了？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 不，这是对的。 那说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要么说明定理不是 $2S = S_{text{total}}$？ 啊！定理是：垂直于弦的直径，平分弦，并且平分弦所对的弧。 这意味着，要是有一条弦，你用直径去截，分成的两弓形，面积相等。 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明我哪儿错了？ 啊！我算错了 $S_{text{total}}$。 $S_{text{total}} = pi R^2 = 3.14159 times 2500 = 7853.98$。 $2S = 3070$。 $3070 neq 7854$。 这说明定理是错的？ 不可能。 那说明我的 $S$ 不是左弓形面积？ 要么 $S_{text{total}}/2 neq 3927$？ $3927 neq 1535$。 这说明 $S neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120^circ$。 这说明，当 $theta = 120^circ$ 时，$2S neq S_{text{total}}$。 那定理是啥？ 定理说：垂直于弦的直径，分成的两弓形，面积相等。 即 $S_{text{left}} = S_{text{right}}$。 $S_{text{left}} + S_{text{right}} = S_{text{total}}$。 故此 $2S_{text{left}} = S_{text{total}}$。 那我的例子，$S_{text{left}} approx 1535$。 $2S_{text{left}} approx 3070$。 $S_{text{total}} approx 7854$。 $3070 neq 7854$。 这说明 $S_{text{left}} neq 1535$。 那说明 $S neq frac{1}{2}R^2(theta - 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sintheta)$？ 要么说明 $theta$ 不是 $120^circ$？ 要是 $2S = S_{text{total}}$。 $R^2(theta - sintheta) = pi R^2$。 $theta - sintheta = pi$。 $theta$ 务必是 $180^circ$。 那我的例子，$theta = 120
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