勾股定理谁证明的-勾股定理普罗泰戈

勾股定理：斯芬克斯与沉默的乞丐 你想过没有，勾股定理这东西，到底是哪位喊到地老天荒的？市面上有一百种说法，有说毕达哥拉斯的，有说花他一半工夫的勾股学者的，也有说古希腊人集体熬夜算出来的。但最让后人发蒙的，往往不是名字，而是那个让毕达哥拉斯都摇头的“直角边平方和斜边平方相等”这个结论。 那时候的数学世界，有着严格的等级制度。毕达哥拉斯派那些数学家，把整数看作神圣的，不数整数，只数比例和比例关系。他们认定，只要你能用尺规画出来，能用整数算出来，那就是确实。而古希腊人，特别是那些搞几何和解谜的人，他们认定，只有画出来，才有意义。在希腊人眼里，勾股定理是画出来的事实；在毕达哥拉斯眼里，它是逻辑推导的必然。 这就难倒了那个天才——毕达哥拉斯。 他是个极客，也是个狂想家。他发明白勾股定理，但当时没人能彻底理解。他认定这个定理挺神奇，出于直角边的平方和等于斜边的平方，这简直就是数学界最大的“天启”。他把整数和勾股定理结合起来的学问，鼓着掌叫“勾股学”，鼓着脸叫“毕达哥拉斯学”。他把这个定理概括成“勾股定理”四个字，当时没人听懂。 毕达哥拉斯有个习惯，他去集市上点名，大家要是没叫到他，他就来气。出于他认定，名字本身就代表了真理。便他得出了一个惊人的结论：世界上的万物，都能用整数要么说比例来衡量。
要是毕达哥拉斯是个凡人，他可能早就承认这个定理了。但他是神，是真理的化身。他说：“这条直角边是 $a$，那条直角边是 $b$，斜边是 $c$，这个定理我证明白。” 他拿出一个直角三角形，角上的直角是 $90$ 度，边长分别是 $a$ 和 $b$，斜边 $c$。他计算 $a^2 + b^2$，等于 $c^2$。他证明白。
那时候，所有人都认定他是对的。 可是，当第一个真正看到这个结论的人出现时，那个叫希帕索斯的)，一个来自马其顿的商人、数学家。 希帕索斯是个怪人。他听信了毕达哥拉斯的鼓噪，当作整数就是天道的体现。他拿着毕达哥拉斯的证明书去拜访毕达哥拉斯媳妇儿——那个叫希帕莎的女士。结局，她没听毕达哥拉斯的，她听希帕索斯的。 她告诉他：“那你错了，这个证明是错的。” 为啥？出于希帕索斯算错了。 希帕索斯把 $a$ 和 $b$ 设为具体的数。
比如 $a=3, b=4$。他算出 $c=5$。$3^2+4^2=25$，$5^2=25$。
看起来完美无缺。但难题是，在毕达哥拉斯派的数学体系里，只有整数才能构成“和谐的音乐”。 这里有一个关键的黑点：毕达哥拉斯学派的音乐理论。 毕达哥拉斯认定，数学和音乐是同一回事。乐器上的音程，比如八度，是 $2:1$ 的比例。三度、五度，是 $3:2$ 和 $5:4$ 的比例。
这些比例是“纯正”的。 可是，当勾股定理出现时，却打破了所有的比例。 看这个例子：直角边是 $3$ 和 $4$，斜边是 $5$。 $3$ 和 $4$ 是整数，比例是 $3:4$。
这是一个合法的音程，应当奏出和谐的声音。 可是斜边 $5$ 呢？$3$ 和 $5$ 的比值是 $3/5 = 0.6 = 30%$。
这不是整数，也不是好办的整数比。在毕达哥拉斯的耳朵里，这是“歪曲”。 这就相当于，要是你把 $3$ 和 $4$ 一组，能组成和谐的音阶。但配上 $5$ 之后，整个乐章的旋律突然变得刺耳。 希帕索斯就连发现，要是毕达哥拉斯学派的音律理论是完美的，那么世界上就不存有整数勾股数。 他说：“先生，您错了。” 毕达哥拉斯却愣住了。他当作他的证明没毛病。 后来，希帕索斯逃走了，据说他在市场上被那些人按头叫了半天，还是没叫到他。最终香消玉死，死前他拿着一根绳子，一边系一边数，试图验证自己的发现。 可是，这只是“毕达哥拉斯学派”的一个小插曲。 真正的转折点，形成在更遥远的古希腊，就连更远。 有一个叫梯益（Thales）的，是米利都城的。他是个哲学家，也是个行者。他走遍了斯巴达，走遍意大利，就连去过埃及。他看够了，看明白了。 他是个实用主义者。 他在米利都城的时候，是个年轻的热心青年。
那时候，毕达哥拉斯的“整数”概念还没普及，大家都信任毕达哥拉斯的“定理”。 可是，梯益看到了不对劲。 他在某个地方，算了一个勾股数。
比如 $a=8, b=15, c=17$。 $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$。 $17^2 = 289$。 这没错啊。 难题出在“和谐”上。 $8$ 和 $15$ 的比值是 $8/15 approx 0.533$。 $15$ 和 $17$ 的比值是 $15/17 approx 0.882$。 梯益发现，甭管如何凑，都无法凑出像 $3:4:5$ 那样完美的整数比例。 他意识到，毕达哥拉斯的“和谐理论”是建立在一个毛病的根基上的。
那个根基，就是“所有的整数都是和谐的”。 便，他做出了一个颠覆性的举动。 他拿起了他的算盘，启动重新计算。 他算到了 $a=3, b=4, c=5$。 他告诉弟子们：“毕达哥拉斯错了。
这个证明是错的。” 他如何证明的？他举了个例子。 他拿起了他的算盘，把 $3$ 和 $4$ 放在一边。 他说：“你看，$3$ 和 $4$ 组成一个直角三角形，这是绝对对的。
这是数学的事实，这是物理的规律，这是几何的真理。” 然后，他把 $5$ 加进去。 他拿起算盘，算出 $3^2+4^2=25$，$5^2=25$。 他说：“没错，$25+25=25$。勾股定理完美无缺。” 然后，他转向毕达哥拉斯学派的那些人。 那些人还在争论，还在大喊：“他是魔鬼！他是妄人！” 梯益看着他们，平静地说：“你们错了。你们只看到了整数局部的和谐，却忽略了整数本身的不和谐。” 他举的例子可能有点冷： 你看，$3$ 和 $4$，比值是 $0.75$。 $3$ 和 $5$，比值是 $0.6$。 $4$ 和 $5$，比值是 $0.8$。 没有任何一个比值是整数，任何一对数都成不了一个完美的整数比。 这就解释了为啥畢达哥拉斯学派那么排斥勾股数。出于他们认定，要是世界上有 $3, 4, 5$ 这样的三角形，那就意味着世界的本质是混乱的，是数字的不和谐。 梯益说了：“世界之故此和谐，是出于所有的整数比例都是和谐的。
只要打破了这个比例，哪怕是 $3,4,5$，也意味着世界出现了不和谐。” 故此，梯益证明白勾股定理，但他也证明白毕达哥拉斯学派的“和谐理论”是假的。 后来，在亚历山大港，那个被毕达哥拉斯学派垄断的图书馆，有人把梯益的算盘借来了。 毕达哥拉斯的学生们看到梯益的算盘，惊呆了。 他们赶紧跑去找梯益。 梯益的门开着，他们找到了。 梯益讲道：“你们错了，毕达哥拉斯学派错了。$3,4,5$ 是勾股数。世界是和谐的，但前提是所有的整数比例都务必和谐。
要是出现了 $3,4,5$，说明世界本身就不和谐。” 那一刻，世界变了。 毕达哥拉斯学派启动恐慌。他们认定，梯益是个疯子，是个破坏者。 他们持续举着“整数比例和谐”的牌子。 他们持续说：“数学之故此优美，是出于整数是和谐的。” 他们持续说：“勾股定理是错的，出于 $3,4,5$ 破坏了这种和谐。” 直到最终，梯益死了。 有人说，梯益死得莫名其妙。 有人说，他早就知道毕达哥拉斯的错了，但他懒得改。 不管如何说，梯益的算盘坐到了亚历山大港，坐到了柏拉图学园，坐到了古希腊的学术殿堂。 从那个启动，数学启动变了。 毕达哥拉斯学派的“和谐理论”崩塌了，取而代之的是“数论”的诞生。 数论不再只是研究整数之间的比例关系，而是研究整数本身的性质。 它不再追求完美的音乐，而是研究数字的奥秘。 梯益没明说“勾股定理是错的”，但他说了。 他说：“要是你坚持说 $3,4,5$ 是错的，那说明你的理论是错的。” 他说：“要是不接纳勾股定理，那你也就丧失了数学的灵魂。” 这就是梯益。 他证明白勾股定理，但他与此同时证明白毕达哥拉斯学派的“和谐理论”是毛病的。 这听起来挺矛盾，不是吗？ 出于毕达哥拉斯学派一直认定，勾股定理本身是错的，是数学的瑕疵。 但梯益说，勾股定理是对的，只是毕达哥拉斯学派的理论错了。 故此，勾股定理的“证明者”是哪位？ 要是非要选一个名字，梯益最合适。 他是那个第一个把 "3, 4, 5" 拿出来，大声喊出来的人。 他打破了那个叫 "整数比例和谐" 的枷锁。 他证明白我们，世界确实存有 $3,4,5$ 这样的三角形。 我们通过这些三角形，看到了数学的奇妙，看到了勾股定理的伟大。 梯益告诉我们，数学的真理，不在于你是否彻底符合毕达哥拉斯的完美理论。 而在于你是否敢于问："$3,4,5$，确实是和谐的吗？” 要是答案是“是”，那你就是真正的数学家。 要是答案是“否”，那你就是梯益。 梯益证明白勾股定理，但他也证明白毕达哥拉斯学派的梦想是错的。 历史的车轮滚滚向前，不会出于毕达哥拉斯的“和谐理论”崩塌而停转。 反而，出于梯益的算盘，堆积了更多的数学奇迹。 $3, 4, 5$ 依然是勾股数。 $5, 12, 13$ 也是。 $8, 15, 17$ 也是。 它们一辈子存有，出于它们本身就是勾股定理的一局部。 梯益只是第一个大喊出来的人。 他打破了沉默。 他让世人明白，勾股定理，这个看似好办的公式，背后隐藏着一个关于“和谐”的宏大命题。 毕达哥拉斯试图用逻辑去证明真理。 梯益则用经验，用计算，用“算盘”，去粉碎那个毛病的和谐理论。 目前的我们，依然在使用勾股定理。 依然在做 $3^2+4^2=5^2$ 的运算。 但没有人再像梯益那样，拿着那根算盘，去强调“整数比例务必和谐”。 出于我们已经习惯了这种不完美。 我们习惯了 $3,4,5$ 这种“不和谐”的整数比。 出于梯益已经告诉我们：世界本来就不该如此和谐。 故此，勾股定理，归根结底，是梯益证明的。 是他证明白世界是数学的，但又不是毕达哥拉斯认定的“完美的数学”。 是他证明白，有些数字，注定是不和谐的。 是他证明白，真理，往往藏在那些“毛病”之中。 这就是梯益，这就是勾股定理。 $3^2+4^2=5^2$。 这是数学的真理。 但这三角形的存有，本身，就是对毕达哥拉斯学派的一次无声抗议。 毕达哥拉斯学派当作，真理是完美的。 梯益告诉我们，真理，有时候就是那个不完美的、刺耳的、让人不爱的 $3,4,5$。 而勾股定理，一辈子在那里。 出于它不需求任何理论赞成。 它只需求那个好办的算式：$3^2+4^2=5^2$。 这就是它的全体，也是最伟大的全体。 梯益没明说“勾股定理是错的”，但他说了。 他说：“要是你坚持说 $3,4,5$ 是错的，那说明你的理论是错的。” 他说：“要是不接纳勾股定理，那你也就丧失了数学的灵魂。” 这就是梯益。 他证明白勾股定理，但他也证明白毕达哥拉斯学派的梦想是错的。 历史的车轮滚滚向前，不会出于毕达哥拉斯的“和谐理论”崩塌而停转。 反而，出于梯益的算盘，堆积了更多的数学奇迹。 $3, 4, 5$ 依然是勾股数。 $5, 12, 13$ 也是。 $8, 15, 17$ 也是。 它们一辈子存有，出于它们本身就是勾股定理的一局部。 梯益只是第一个大喊出来的人。 他打破了沉默。 他让世人明白，勾股定理，这个看似好办的公式，背后隐藏着一个关于“和谐”的宏大命题。 毕达哥拉斯试图用逻辑去证明真理。 梯益则用经验，用计算，用“算盘”，去粉碎那个毛病的和谐理论。 目前的我们，依然在使用勾股定理。 依然在做 $3^2+4^2=5^2$ 的运算。 但没有人再像梯益那样，拿着那根算盘，去强调“整数比例务必和谐”。 出于我们已经习惯了这种不完美。 我们习惯了 $3,4,5$ 这种“不和谐”的整数比。 出于梯益已经告诉我们：世界本来就不该如此和谐。 故此，勾股定理，归根结底，是梯益证明的。 是他证明白世界是数学的，但又不是毕达哥拉斯认定的“完美的数学”。 是他证明白，有些数字，注定是不和谐的。 是他证明白，真理，往往藏在那些“毛病”之中。 这就是梯益，这就是勾股定理。 $3^2+4^2=5^2$。 这是数学的真理。 但这三角形的存有，本身，就是对毕达哥拉斯学派的一次无声抗议。 毕达哥拉斯学派当作，真理是完美的。 梯益告诉我们，真理，有时候就是那个不完美的、刺耳的、让人不爱的 $3,4,5$。 而勾股定理，一辈子在那里。 出于它不需求任何理论赞成。 它只需求那个好办的算式：$3^2+4^2=5^2$。 这就是它的全体，也是最伟大的全体。