设圆O，圆外一点P，过P作两条割线：一条交圆于A、B两点（PA < PB），另一条交圆于C、D两点（PC < PD）。则根据割线定理证明-割线定理证明法，恒有：

PA × PB = PC × PD

该式表明：从点P出发，沿任意方向“穿透”圆所形成的两段距离之积恒为定值。这一定值等于点P对圆的幂（Power of a Point），即：PO² − R²，其中O为圆心，R为半径。

• • PA：点P到近交点的距离（短段）
• • PB：点P到远交点的距离（长段）
• • PB = PA + AB，其中AB为弦长

当其中一条割线旋转至与圆相切时，两交点重合为切点T，此时PC = PD = PT，定理退化为切割线定理：

PA × PB = PT²

这说明：割线定理证明-割线定理证明法是更广义的幂定理（Power Theorem）的特例。割线与切线本质是同一几何关系的两种表现形式，共同构成点对圆的“距离度量体系”。

从物理视角理解：点P对圆的“张力”由其位置唯一决定，无论通过什么路径“作用”于圆，其效果总表现为一个标量值——幂。这正是几何对称性的精妙体现。

标准证明依赖于圆周角定理与相似三角形：

1. 连接AC、BD
2. 由圆周角定理：∠PAC = ∠PDB（同弧BC所对圆周角）
3. 同理：∠PCA = ∠PBD（同弧AD所对圆周角）
4. 故 △PAC ∽ △PDB（AA相似）
5. 对应边成比例 ⇒ PA/PD = PC/PB ⇒ PA × PB = PC × PD

此证明过程揭示：割线定理证明-割线定理证明法的根基在于圆的旋转对称性与角度不变性，而非偶然数值巧合。

题设：如图，点P在圆外，PA = 3，AB = 5，PC = 4，求PD。

解析：

• 由割线定理：PA × PB = PC × PD
• PB = PA + AB = 3 + 5 = 8
• 代入：3 × 8 = 4 × PD ⇒ PD = 24 / 4 = 6

关键点：注意PB是整段长度，不是AB！初学者易混淆“近点到远点”与“弦长”。

题设：圆心O到点P距离PO = 13，PA = 2，PB = 18（PAB为割线），求圆半径R。

解析：

• PA × PB = 2 × 18 = 36
• 由幂定理：PO² − R² = 36 ⇒ 13² − R² = 36 ⇒ 169 − 36 = R²
• R² = 133 ⇒ R = √133 ≈ 11.53

拓展：此题体现割线定理证明-割线定理证明法的实际工程价值——当无法直接测量圆心时，可通过外部观测点反推几何参数。

题设：PT为切线，PT = 10；割线PAB中PA = 5，求AB。

解析：

• 由切割线定理：PT² = PA × PB
• ² = 5 × PB ⇒ PB = 100 / 5 = 20
• AB = PB − PA = 20 − 5 = 15

易错警示：若误用割线定理（需两条割线），将导致错误。本题仅一条割线+一条切线，须用退化版定理。

错误！割线仅需与圆有两个交点，不一定过圆心。过圆心的割线特称为“直径线”，但定理对任意割线均成立。

严重错误！PA×PB是点P到两交点距离的乘积，AB是弦长。二者无直接平方关系。例如PA=2, PB=8时，AB=6，但2×8=16 ≠ 36。

不完全对！割线定理是圆幂定理的特例。对椭圆、双曲线、抛物线，存在推广的“幂”概念，但表达式更复杂。例如椭圆中，PA×PB = |PO|² − a² − b² + ...（依赖具体参数），需用二次曲线一般方程推导。

需分情况：

• • P在圆外：PA×PB = 正值（幂 > 0）
• • P在圆上：PA×PB = 0（因PA=0或PB=0）
• • P在圆内：定义为PA×PB = R² − PO²（此时PA、PB为有向线段，乘积为负值）

圆内情形常被忽略，但割线定理证明-割线定理证明法的完整形式涵盖所有位置。