弦切角定理证明表-弦切角定理证明表

弦切角定理在几何世界里总显得那么“圆”和“巧”，但用教科书那种“起初、其次、最终”的念经方式去讲，就像是在讲一个笑话，出于根本没有真相。 先说结论。当一条直线 $l$ 和圆 $O$ 有一个交点 $A$（切点），还有一条直线从圆外一点 $P$ 穿过圆，与圆交于 $B$，$C$ 两点时，在 $B$ 处切 $l$，那么 $angle PAB$ 就等于 $angle PBC$。
这听起来像是两个角度相等，但在这种情形下，$l$ 不只是是切线，还是割线的一局部。
要是 $l$ 不经过 $B$，那就更有意思了，比如 $P$ 在圆外，$PA$ 是割线，$PQ$ 是切线，$AC$ 是弦。
这时候 $angle PAQ$ 就等于 $angle ABC$。
这实际上是个贼直观的观察：一个圆周角等于它夹的弧上的弦切角。
这本质上就是“等角定理”的变体，而弦切角定理本身，实际上就是圆周角定理的一个直接推论。
为啥？出于弦切角所夹的弧，实际上就是圆周角所对的弧。
既然对同一个弧的角相等，那弦切角自然也就等于圆周角了。 大量人一看到这个定理，第一反应就是画图，然后启动背诵公式。但画图的时候，我们能够故意画得歪一点，要么延长线搞得更复杂，反正只要不经过切点就行。
比方说，在圆外画一条直线 $PB$，交圆于 $B$，再画一条切线 $PA$，交圆于 $A$。
这时候 $angle PAB$ 就是我们要找的弦切角。它的对弧是 $BC$。而 $angle PBC$ 也是对弧 $BC$ 的圆周角。
这俩角自然相等。
要是你非要强行让 $PA$ 变成和 $AB$ 有一条公共弦的割线，那 $angle PAB$ 就变成了 $angle (AB, PA)$，而对应的圆周角是 $angle ACB$（假设 $C$ 是另一端交点）。
这时候 $angle PAB$ 就等于 $angle ACB$。
你看，甭管如何拉，只要对应弧一样，角就相等。 为了证明这个结论，我们彻底不需求去纠结“为啥”要等于圆周角，直接去推导它等于圆周角本身就够了。 设圆的圆心为 $O$，我们要证 $angle PAB = angle ACB$。作 $OA$ 的垂线 $OD$，垂足为 $D$，延长 $OD$ 交圆于 $E$，连接 $CE$。 起初，利用垂径定理。出于 $OD$ 垂直于切线 $PA$（这里假设 $PA$ 是切线，$P$ 在圆外），故此 $OD$ 平分弧 $AB$。
这意味着弧 $AE$ 等于弧 $EB$。根据“同弧所对的圆周角相等”，$angle ECE$ 和 $angle CBE$ 就相等了。 接下来处理弦切角局部。出于 $PA$ 是切线，$AB$ 是弦，故此 $angle PAB$ 是弦切角。根据弦切角定理（实际上就是圆周角定理），$angle PAB$ 等于它所夹的弧 $AB$ 对应的圆周角。
这里的圆周角能够是 $angle ACB$，也能够是 $angle AEB$。 目前我们要把弦切角 $angle PAB$ 转化为圆周角。作直径 $AD$，连接 $BD$。出于 $AD$ 是直径，故此 $angle ABD = 90^circ$。又出于 $OD perp PA$，$D$ 是中点，故此 $OD$ 也是中轴线。 什么的，这里有个更好办的思路，不用作辅助线去搞直径。直接利用垂径定理的推论。 设 $PA$ 切圆于 $A$，$PB$ 交圆于 $B$，$C$ 在圆上。 作直径 $AM$，连接 $CM$。 出于 $PA$ 是切线，$AM$ 是直径，故此 $angle PAM = 90^circ$。 故此 $PM perp AM$。 根据垂径定理，直径 $AM$ 平分弧 $PB$（即弧 $PM$ 和弧 $MB$）。 故此 $angle PCM = angle MCB$（同弧圆周角）。 与此同时，$angle PAM$ 是弦切角（要是 $P$ 在切线上），它等于 $angle MCB$。 这就证完了。 不过，要是你不想走这个复杂的证明路线，直接看结论就完事了。弦切角定理的实质，就是告诉我们：在圆上找一点，把这个角分成两局部，其中一局部是弦切角，另一局部是圆周角，这两者是一一对应的。 举个例子。假设圆半径是 5，圆心在原点 $(0,0)$。 取点 $A$ 在单位圆上，坐标是 $(1,0)$。 画一条切线 $y=1$。 在圆外取点 $P(-5, 1)$，连接 $PB$ 交圆于 $B$。 我们需求计算 $angle PAB$。 向量 $AP = (-6, 0)$，向量 $AB = B - A$。 这忒无聊了，数据有点乱。 还是看这个例子：圆 $x^2 + y^2 = 1$。 切线 $y=0$ 对应点 $A(1,0)$。 割线 $y = -2$ 交圆于 $B(-frac{sqrt{3}}{2}, -2)$ 和 $C(frac{sqrt{3}}{2}, -2)$。 不对，割线务必在圆内。 换一个：圆 $x^2 + y^2 = 1$。 切点 $A(1,0)$。 点 $P(3,0)$ 在切线 $y=0$ 上。 割线过 $P$，交圆于 $B(costheta, sintheta)$。 弦切角 $angle PAB$。出于 $A, P$ 都在 $x$ 轴上，$AB$ 是弦。 $angle PAB$ 实际上就是弦 $AB$ 与 $x$ 轴正方向的夹角（大小）。 对应的圆周角 $angle ACB$ 是弦 $AB$ 所对的圆周角。 出于 $A, P, B, C$ 都在圆上，$AB$ 是弦。 $angle PAB$ 的度数等于 $angle ACB$ 的度数。 数据验证：取 $B$ 为 $(0,1)$。则 $A(1,0), B(0,1)$。 $angle PAB$：$P$ 在 $(3,0)$，$A$ 在 $(1,0)$。$PA$ 是水平向左。$AB$ 是竖直向上。夹角是 $90^circ$。 对应的圆周角 $angle ACB$：$C$ 在 $(0,-1)$。$A(1,0), B(0,1), C(0,-1)$。 $angle ACB$ 是 $angle (AC, BC)$。 $AC$ 斜率 $frac{0 - (-1)}{1 - 0} = 1$，角度 $45^circ$。 $BC$ 斜率 $frac{1 - (-1)}{0 - 0}$ 无穷大，角度 $90^circ$（反向）。 不对，$C$ 是 $(0,-1)$。$B(0,1)$，$A(1,0)$。 向量 $CA = (1,1)$，向量 $CB = (0,2)$。 $cos theta = frac{2}{sqrt{2} cdot 2} = frac{1}{sqrt{2}}$。$theta = 45^circ$。 确实，$90^circ = 45^circ$？ 不对，弦切角定理是 $angle PAB = angle ACB$。 当 $B(0,1)$ 时，$P(3,0)$。 $angle PAB$：$PA$ 方向向左，$AB$ 方向向下（$A$ 到 $B$ 是 $( -1, 1)$？不对，$A(1,0), B(0,1)$ 是向上）。$P(3,0), A(1,0)$ 是向左。 $AB$ 向量是 $(-1, 1)$，角度 $135^circ$。 $PA$ 向量是 $(-2, 0)$，角度 $180^circ$。 夹角 $180 - 135 = 45^circ$。 对应的圆周角 $angle ACB$：$C(0,-1)$。 $AC$ 向量 $(1,1)$，$BC$ 向量 $(0,2)$。 夹角 $angle ACB$ 是 $AC$ 和 $BC$ 的夹角。 $AC$ 角度 $45^circ$，$BC$ 角度 $90^circ$。夹角 $45^circ$。 相等！确实相等。 这个例子说明，只要弧是一样的，角就一样。弦切角夹的弧和圆周角对的弧彻底重合，故此它们必然相等。
这不需求任何复杂的公式推导，只需求一眼看出“弧”和“角”的对应关系。 再举个反例，看看弦切角和圆内角如何不一样。 弦切角夹弧 $AB$，圆周角对弧 $AB$。 要是圆周角对的是另一段弧呢？ 比如弦切角 $angle PAB$ 对弧 $BC$（假设 $B$ 中间）。 那对应的圆周角 $angle ADB$ 对弧 $AB$。 这时候 $angle PAB$ 和 $angle ADB$ 就不一定等于了，要不就 $B$ 和 $D$ 重合。 这进一步证明，弦切角定理的核心就是“夹弧”和“对弧”的严格对应。 故此，弦切角定理实际上就是一个贼优美的几何事实：圆被弦切出来的角，等于圆里面对着同一个弧的角。
这听起来好办，做起来反而认定绕，出于它定义了某种“映射关系”。 在实际应用中，这个定理把弦切角和圆周角统一起来了。
那会儿我们算弦切角，目前我们能够直接算圆周角，撇脱多了。
这也是为啥大量几何题，只要看到切线，就会往“找同弧圆周角”的方向想。 自然，说穿了，弦切角定理就是圆周角定理的“分身术”。它把圆周角推广到了弦切角，让圆的事儿变得更好办处理。 最终再小结一下。弦切角定理告诉我们要找角，就得找弧，要找弧，就得找角。
只要这两个对应关系建立好了，角的数值就自动对齐了。
不用想忒多，只要直觉准，画图对得上，数一下弧度数，它们就相等。
这就是几何最迷人的地方，好办，直接，又充满巧思。