深入解析 0/0型Stolz定理 与 0/0 型 Stolz 极限：超越洛必达的严谨极限求解体系

换元构造：转化变量以简化结构

通过变量替换，将复杂极限转化为标准形式（如sin t / t →1）。

例1： lim_x→0 (1 - cos x)/x²
令 t = x/2，则 cos x = 1 - 2sin²t → 2sin²t / (2t)² = (1/2)(sin t / t)² → 1/2

例2（Stolz背景）： lim_n→∞ n(√[n]{a} - 1) (a>0)
令 xₙ = √[n]{a} - 1，则 a = (1 + xₙ)ⁿ
取对数：ln a = n ln(1 + xₙ) → xₙ ~ (ln a)/n
→ 原式 = lim n · xₙ = ln a

例3（复合函数）： lim_x→0 [ln(1 + sin x)] / x
令 t = sin x，则 x → 0 时 t ~ x
→ lim [ln(1+t)] / t · t/x = 1 · 1 = 1

等价无穷小替换：高效计算的利器

当 x→0 时，常见等价无穷小：
sin x ~ x, tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x
1 - cos x ~ x²/2, eˣ - 1 ~ x, ln(1+x) ~ x
(1+x)ᵃ - 1 ~ a x

例1： lim_x→0 (tan x - sin x)/x³
直接替换：tan x ~ x, sin x ~ x → x - x = 0？错误！
必须保留高阶项：
tan x = x + x³/3 + o(x³), sin x = x - x³/6 + o(x³)
→ 差 = x³/2 + o(x³) → 极限 = 1/2

例2： lim_x→0 (eˣ - 1 - x)/x²
eˣ = 1 + x + x²/2 + o(x²) → 分子 = x²/2 + o(x²) → 极限 = 1/2

Stolz应用： lim_n→∞ n(√[n]{2} - 1)
令 aₙ = √[n]{2} - 1，则 2 = (1 + aₙ)ⁿ
ln 2 = n ln(1 + aₙ) ~ n aₙ → aₙ ~ (ln 2)/n → 极限 = ln 2

Stolz定理专属策略：专攻数列0/0型极限

定理（0/0型）：
设 {bₙ} 严格单调递减，lim bₙ = 0，且 lim (aₙ - aₙ₊₁)/(bₙ - bₙ₊₁) = L，则 lim aₙ/bₙ = L。

例1： lim_n→∞ (1/n - ln(1 + 1/n)) / (1/n²)
令 aₙ = 1/n - ln(1 + 1/n), bₙ = 1/n²
则 aₙ - aₙ₊₁ = [1/n - 1/(n+1)] - [ln(1+1/n) - ln(1+1/(n+1))] = 1/[n(n+1)] - ln[(n+1)²/(n(n+2))]
分析 ln[(n²+2n+1)/(n²+2n)] = ln(1 + 1/(n²+2n)) ~ 1/(n²+2n) - 1/[2(n²+2n)²]
→ aₙ - aₙ₊₁ ~ 1/n² - 1/n³ - [1/n² - 2/n³ - 1/(2n⁴)] = 1/n³ + o(1/n³)
bₙ - bₙ₊₁ = 1/n² - 1/(n+1)² = (2n+1)/[n²(n+1)²] ~ 2/n³
→ (aₙ - aₙ₊₁)/(bₙ - bₙ₊₁) ~ (1/n³)/(2/n³) = 1/2

例2（经典）： lim_n→∞ (Hₙ - ln n)（欧拉常数）
令 aₙ = Hₙ - ln n, bₙ = 1/n → 0
aₙ - aₙ₊₁ = (Hₙ - Hₙ₊₁) - (ln n - ln(n+1)) = -1/(n+1) + ln(1 + 1/n) ~ -1/n + 1/n² + 1/n - 1/(2n²) = 1/(2n²)
bₙ - bₙ₊₁ = 1/n - 1/(n+1) = 1/[n(n+1)] ~ 1/n²
→ 比值 → 1/2，但实际极限存在（≈0.5772），说明此处不适用——因bₙ=1/n不满足严格单调递减趋于0？ 实际满足！问题在于：Stolz要求极限存在，但此处差分比极限为1/2，而原极限为γ，矛盾？
真相：此例属于∞-∞型，应改用Stolz的∞/∞型：令 aₙ = Hₙ, bₙ = ln n → ∞/∞型更稳妥。