向量乘积定理讲解-向量乘积定理详解

向量乘积定理，也就是得斯——卡尔曼公式，算是咱们高等数学里那个略微有点“硬核”但特别能考活的点。它本来就是个数学名词，定义挺生硬，就是向量叉积（也就是你中学最熟悉的算叉积）的“推广版”。 到了大学里，这门课刚启动的时候，我认定它简直就是个天书。
看定义的时候，脑子里先蹦出来的词是行列式，然后才反应过来，行列式是用来算啥的？是算三角形面积、向量积的模、还有混合积。
看来这门课可能是那个集合体的一局部。 但在具体用用到啥程度之前，得先把概念搞清楚。就像我们那会儿学向量积的时候，两个向量相乘拿到一个结局，一般是一个三维向量。
那目前我们面对的是 $n$ 维空间的向量，比如四维空间、就连更高维。
这时候，我们没法直接算两个向量的“叉积”，出于叉积这个概念本身就不适用于高维空间了。 故此，这个定理就登场了。它定义了 $n$ 维向量叉积，$a_1 wedge a_2 wedge dots wedge a_n$，等于一个 $n$ 维向量。并且，这个向量的模长，就是 $n$ 个向量张成的平行六面体的体积。
这个体积如何算呢？这就回到了行列式的身上了。 要是你拿 $n=3$ 的情况看，两个向量 $A$ 和 $B$ 的叉积 $A wedge B$，它的模长就是行列式 $|A B|$。
这挺直观。到了 $n=4$ 呢？三个向量 $A, B, C$ 的叉积 $A wedge B wedge C$，就是行列式 $|A B C|$。 到了 $n=5$，四个向量 $a_1, dots, a_4$ 的叉积，就是行列式 $|a_1 a_2 a_3 a_4|$。 到了 $n=6$，五个向量 $a_1, dots, a_5$ 的叉积，就是行列式 $left| begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 end{matrix} right|$。 这个规律一直推个 $n$ 下去，你会发现，别看公式长得一样，但显示的是一个 $n times n$ 的行列式。
有意思的是，要是你把矩阵写成行向量 $a_1^T, a_2^T, dots, a_n^T$，这个行列式能够写成 $a_1 wedge dots wedge a_n$。
反过来，要是你把它写成列向量，要么用反序排列，比如 $a_n wedge dots wedge a_1$，结局符号会变，模长不变。 这就解释了为啥在 $n=3$ 时，叉积的结局是三维向量；在 $n=4$ 时，结局变成了三维向量（出于 $4-3=1$ 维，也就是标量）；而在 $n=5$ 时，结局就是标量了。
这个规律叫霍尔维茨定理，要么说“维度下降定理”。降一维，模长就变成标量。 再往下推，$n=7$ 时，结局就是一个 1 维向量，也就是一个标量。
这时候，$A wedge B wedge dots wedge A$，要是重复了 $n$ 次，结局就是标量本身。到了 $n=2n$，结局变成二维向量了。 实际上，我们没必要非得死磕 $n=3$ 到 $n=n$ 这个过程。出于只要知道它和行列式的关系，实际上就已经掌握了精髓。它本质上就是一个 $n$ 维空间里 $n$ 个向量构成的平行多面体体积的“超扩展”。 举个例子，我们来看一个具体的四向量的例子。假设有四个向量 $mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d}$。 在这个例子里，我们算 $mathbf{a} wedge mathbf{b} wedge mathbf{c}$。 先把它们列成矩阵： $$ left( begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \ 2 & 3 & 4 & 5 \ 6 & 7 & 8 & 9 \ 10 & 11 & 12 & 13 end{array} right) $$ 求这个矩阵的行列式。 哎，这个行列式算出来是多少？ 第一步，观察一下。
第一行全是 1。
第二行是 2,3,4,5。
第三行是 6,7,8,9。
第四行是 10,11,12,13。 这个矩阵看起来有点熟悉，像是等差数列生成的。 第一行和减去第二行，拿到 1,0,-3,4。 再减去第三行，拿到 1,-3,3,9。 再减去第四行，拿到 1,-5,6,3。 这仿佛变复杂了，直接展开算好办出错。 换个思路，直接看行列式的值。 把第 1 列乘以 -1，加到第 2 列，拿到 -1, 1, 1, 2。 把第 1 列乘以 -1，加到第 3 列，拿到 -1, 1, 1, 2。 把第 1 列乘以 -1，加到第 4 列，拿到 -1, 1, 1, 2。 仿佛也不对，数据又乱了。 还是老老实实按部就班吧。 主对角线乘积：$1 times 3 times 8 times 13 = 312$。 副对角线乘积：$1 times 4 times 8 times 10 = 320$。 要是主 - 副相等，那就是 8。 但这没寻思到顺序的难题。 让我们用行变换法来算准点。 第一行：1, 1, 1, 1 第二行：2, 3, 4, 5 第三行：6, 7, 8, 9 第四行：10, 11, 12, 13 R2 = R2 - 2R1 -> 0, 1, 2, 3 R3 = R3 - 6R1 -> 0, 5, 2, 3 R4 = R4 - 10R1 -> 0, 10, 11, 12 目前矩阵变成： $$ left( begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 0 & 5 & 2 & 3 \ 0 & 10 & 11 & 12 end{array} right) $$ 目前看这一列，R3 = R3 - 5R2 -> 0, 0, -8, 0 R4 = R4 - 10R2 -> 0, 0, -8, 0 R4 和 R3 目前彻底一样了！ 哎呀，这说明啥？说明行列式为 0。 也就是 $det(mathbf{a} wedge mathbf{b} wedge mathbf{c}) = 0$。 这意味着啥？这意味着这三个向量 $mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}$ 是共面的。
也就是说，它们张成的平行六面体退化成了一片“纸片”，体积为 0。
要是没有这个定理，你可能还没搞清楚行列式如何给它们赋值，就已经发现它们共面了。 再换一个例子，略微换个数据，保证行列式不为 0。 假设有两个向量 $mathbf{u} = (1, 0, 0, 0)$ 和 $mathbf{v} = (0, 1, 0, 0)$。 它们的叉积 $mathbf{w} = mathbf{u} wedge mathbf{v}$。 行列式就是 $left| begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{matrix} right| = 1$。 结局是 $(1, 0, 0, 0)$，是一个一维向量。 再试一个 $n=4$ 的例子。 取 $mathbf{a} = (1, 0, 0, 0)$, $mathbf{b} = (0, 1, 0, 0)$, $mathbf{c} = (0, 0, 1, 0)$。 行列式是主对角线乘积，即 $1 times 1 times 1 times 1 = 1$。 结局是 $(1, 0, 0, 0)$，一维。 再试一个三维的例子。 取 $mathbf{a} = (1, 0, 0)$, $mathbf{b} = (0, 1, 0)$, $mathbf{c} = (0, 0, 1)$。 行列式是 $1$。 结局是 $(1, 0, 0)$。 把这些放在一起，你会发现一个有趣的模式。 在三维空间中，三个互相垂直的向量，它们的叉积是一个沿 $x, y, z$ 轴的向量。 在四维空间中，四个互相垂直的向量，它们的叉积是一个沿 $x, y, z$ 轴的向量。 就连 $n=6$ 的情况，五个互相垂直的向量，叉积也是一个沿 $y, z$ 轴的向量（二维）。 这也意味着，叉积的结局一直那个“平面”法线方向上的向量。 不过，这个定理有个挺实际的应用场景。就是当你需求判断 $n$ 个向量是否共面时，你能够瞬间算出这个行列式的值。
要是值是 0，就共面；要是值不为 0，就不共面。 自然，对于 $n=3$ 到 $n=5$ 的情况，这个定理可能用得不多，出于我们的思维惯性还停留在二维平面上。但在 $n$ 维空间中，这就是判断“空间体积”是否为 0 的唯一工具。 故此，向量乘积定理别看定义得有点拗口，就连有点让人质疑是不是在搞啥“高维数学”，但它实际上就是降维打击的终极形态。它告诉你，只要能把你的 $n$ 维向量组“压缩”成一个 $n$ 阶行列式，你就能拿到那个 $n-1$ 维向量（实际上就是纯量）的体积信息。 最终，再唠叨一句。
这个定理在考研要么专业考试中是必考的。出于它结合了行列式、向量积、还有高维几何的概念，出题老师喜爱往这个链条上砸锤子。你只要在复习时，把 $n=3$ 到 $n=6$ 的行列式特征给理清楚，把那个“重复=n 害得结局为标量”的规律给记牢，根本上就不会掉进去。 实际上，不管 $n$ 是多少，这个公式的灵魂都在行列式。
只要算出那个行列式的值，你就彻底明白了。