二次型惯性定理证明-二次型惯性定理证

二次型惯性定理这东西，最早是古根斯坦用来证明二次型矩阵能够正交对角化的时候随口提的，后来才成了一个人工甄别特征值的工具。别看它名字听着挺学术，实际上说白了就是个找“本质特征”的游戏。 咱们拿个正定的二次型 $Q(x)$ 启动吧。
这就等于换个坐标系去看，目标就是把矩阵变成对角线全是正数的样子。
这听起来挺抽象，但实际上是把原空间切分成了几个区域，分别对应正、零和负的特征方向。想象你在迷宫里走，有些路是往上的（正），有些路是向下的（负），而那些平路就是零。
这个定理说，不管你如何平移坐标（也就是做线性变换），只要坐标系变换是可逆的，你最终一定能找到一组正交基，让所有的“负”和“零”分量都归零了，只剩下“正”分量。
这就好比把一团乱麻的线，通过特定的剪刀剪法，最终能变成一根根平行且垂直的线。 要搞定这个操作，最直接的方式是拉格朗日配方式。先设一个正定二次型，把它写成平方和的形式：$a_1x_1^2 + dots + a_nx_n^2$。为了配凑出 $x_1^2$ 这种形式，我们能够调整系数，让前面那个系数刚好是 1。
接着看剩下的项，比如 $ax_2^2 + 2b_{21}x_2x_1$。为了消去交叉项，我们会把 $x_2$ 整体替换掉，替换成 $x_2 - kx_1$ 的形式。
这时候再来看 $b_{21}$ 和 $k$ 的关系，实际上是一个解方程的过程。
只要系数对上了，交叉项就会自动消亡，剩下的全是形如 $x_i^2$ 的纯粹平方项。 这个过程实际上挺像做加法。先把所有能凑成一平方项的项拿出来，剩下的凑法和刚刚一样，直到最终只剩下一个 $x_1^2$。
这时候矩阵就变成对角矩阵 $text{diag}(1, dots, d_n)$ 了。
这时候再回过头去检查配的过程，要是最终剩下的系数 $d_n$ 是正的，那就说明整个二次型是正定的。
反之，要是有负项，那就不中。 举例来说，寻思 $Q(x) = 2x_1^2 - 2x_2^2 + 3x_1x_2$。
这是个典型的混合型的二次型，直接配平方可能会让人头大，但惯性定理告诉我们它一定有两个正特征值和一个负特征值。先试着配出 $1x_1^2 + dots$，这一项系数是 2。剩下的局部要消去 $x_1x_2$ 项，我们设 $x_2 = y + kx_1$。代入后展开，你会发现 $x_2^2$ 的系数是 -2，交叉项里 $x_1$ 的系数是 3k。为了让交叉项消亡，$3k - 2k = 0$ 这个思路不对，应当是交叉项出现的系数是 $2 times (-2)k = -4k$，我们要让它等于 0？不对，重新梳理一下。 好吧，换一种更直观的视角。对于公式 $Ax$，配平方时，交叉项 $x_1x_2$ 的系数是 $2a_{12}$。我们要将其消去，需求用到 $y_2 = y_1 + alpha x_1$。展开后，$2a_{12}x_1y_2$ 这一项的系数会变成 $2a_{12} - 2alpha a_{12}^2$？不对，是 $2a_{12} - 2alpha a_{12} cdot 1$ 这种好办的加减法。
实际上公式是：消去交叉项系数 $2a_{12}$，需求新的矩阵元素 $b_1 = a_{12} + a_{11}$ 要么类似的线性组合。
关键在于，消去交叉项后，新矩阵的对角元素 $D_{11}$ 会和原来的 $a_{11}, a_{12}$ 有明确的线性关系。 比如，$Q = frac{1}{2}(x_1+x_2)^2 - frac{1}{2}x_1^2 + frac{1}{2}x_2^2$ 这种变形。
实际上逻辑挺好办：只要原矩阵正定，配出来的对角线元素全要是正的。
要是有一步配出来系数变成了负数，那说明原矩阵一定不可能是正定的。
反过来，一旦我们通过配平方把所有交叉项都删了，剩下的对角线元素的符号，彻底拍板了惯性。 举个具体的数字例子。设二次型为 $f(x_1, x_2) = x_1^2 - 4x_2^2 + 3x_1x_2$。先看行列式要么特征值大致范围。配方式的第一步，$x_1$ 的系数是 1，没难题。剩下 $x_2^2$ 的系数是 -4，交叉项系数是 3。设 $x_2 = y_2 - kx_1$。代入后，$x_2^2$ 的平方系数是 $-4$。交叉项 $x_1x_2$ 的系数原本是 $3$，展开后会出现一个与 $k$ 相关的项。我们需求 $3 - 2k = 0$ 吗？不对，是 $3 - 2k times (text{旧系数})$？ 对的配平公式是：消去 $x_1x_2$ 项，需求令 $b_1 = a_{12} - frac{1}{2}(a_{11} + a_{22}) times 2$？算了，直接用直观推导。 $f = x_1^2 + 3x_1x_2 - 4x_2^2$。 $(x_1 + frac{3}{2}x_2)^2 = x_1^2 + 3x_1x_2 + frac{9}{4}x_2^2$。 $f - (x_1 + frac{3}{2}x_2)^2 = -4x_2^2 - frac{9}{4}x_2^2 = -frac{25}{4}x_2^2$。 这就配成了一个形如 $x_1^2 - frac{25}{4}x_2^2$。 这就尴尬了，一个正号，一个负号。
这就意味着特征值的符号确定了：一个正，一个负。惯性就是 (1, -1) 要么 (1, -1, 0) 这种形式。 什么的，刚刚算错了符号。二次型配方后，交叉项系数 $2a_{12}$ 变成了 $2a_{12} - 2k a_{12}$？ 哦，我明白了。配平 $(x_1 + mx_2)^2 = x_1^2 + 2m x_1x_2 + m^2 x_2^2$。 我们要消去 $x_1x_2$，故此令 $2m = -3 implies m = -1.5$。 那么新矩阵里 $x_2^2$ 的系数是 $m^2 - 4a_{22}$？不对，是 $m^2 - 4a_{22}$ 这种关系吗？ 是 $a_{22}' = m^2 - 4a_{22}$？ 公式是：$a_{22}' = m^2 - 4a_{22}$ 是毛病的。 对的关系是：若配方拿到 $x_1^2 + lambda x_2^2 + dots$，则 $lambda = m^2 - 4a_{22}$ 是不对的。 应当是 $lambda = (m^2 - 4a_{22})$？ 让我们重新推导一下。$Q = x_1^2 + 3x_1x_2 - 4x_2^2$。 $(x_1 + frac{3}{2}x_2)^2 = x_1^2 + 3x_1x_2 + frac{9}{4}x_2^2$。 $Q - (dots) = -4x_2^2 - frac{9}{4}x_2^2 = -frac{25}{4}x_2^2$。 故此 $a_{22}' = -frac{25}{4}$。 而 $a_{11}=1, a_{22}=-4$。 $m = -3/2$。 关系式是：$a_{22}' = m^2 - 4a_{22}$？ $(-1.5)^2 - 4(-4) = 2.25 + 16 = 18.25$。
不对，结局是负的。 啊，是 $a_{22}' = m^2 - 4a_{22}$ 这个公式是针对原矩阵的系数还是新矩阵？ 我搞混了。应当是：在配平方过程中，消去交叉项后，新主对角元的表达式是 $a_{22}' = m^2 - 4a_{22}$？ 不，是 $a_{22}' = m^2 - 4a_{22}$ 这个不对。 应当是 $a_{22}' = m^2 - 4(a_{22})$？ 算了，直接看结局。配平后，$x_2^2$ 的系数是 $-25/4$。原系数是 -4。 $m = 3/2, a_{22} = -4$。 $m^2 - 4a_{22} = 2.25 - (-16) = 18.25$。 如何算出来是负的？ 哦，是出于 $-4x_2^2$ 前面有个负号。 原式是 $x_1^2 + 3x_1x_2 - 4x_2^2$。 配方：$(x_1 + frac{3}{2}x_2)^2 - frac{9}{4}x_2^2 - 4x_2^2 = (x_1 + frac{3}{2}x_2)^2 - frac{25}{4}x_2^2$。 故此 $a_{22}' = -25/4$。 而 $m = 3/2$。 $m^2 - 4a_{22} = 9/4 - 4(-4) = 9/4 + 16 = 73/4$。 为啥算出来不对？ 出于 $m$ 是消去交叉项所需的系数，它知足 $2m = -3$，故此 $m = -1.5$。 $m^2 = 2.25$。 $4a_{22} = -16$。 $m^2 - 4a_{22} = 2.25 - (-16) = 18.25$。 那为啥配方结局是 $-25/4$？ 出于配方是 $Q = (x_1 + m x_2)^2 + (x_2^2 - 4a_{22} x_2^2)$？ 不对，应当是 $Q = (x_1 + m x_2)^2 + (1 - m^2) x_2^2 - 4a_{22} x_2^2$？ 原式 $x_2^2$ 的系数是 $-4$。 配方后的 $x_2^2$ 系数是 $m^2 - 4a_{22}$？ 不对，$(x_1 + mx_2)^2 = x_1^2 + 2m x_1 x_2 + m^2 x_2^2$。 减去这个平方后，剩下的 $x_2^2$ 系数是 $-4 - m^2$。 出于原式有 $-4x_2^2$。 故此新系数是 $-4 - m^2$。 验证：$m = -1.5 implies m^2 = 2.25$。 $-4 - 2.25 = -6.25$。 而 $-25/4 = -6.25$。
对了！ 公式是：消去交叉项后，新主对角元的表达式是 $a_{22}' = a_{22} - m^2$？ 不，是 $a_{22}' = m^2 - 4a_{22}$ 这个式子要是针对原矩阵的 $a_{22}$ 吗？ 原矩阵中 $x_2^2$ 的系数是 $-4$。 新系数是 $-4 - m^2$。 故此 $a_{22}' = -4 - m^2$。 这就对了。 故此，$a_{22}' = -4 - (-1.5)^2 = -4 - 2.25 = -6.25$。 而 $a_{11} = 1$。 故此特征值的符号分别是 $1$ 和 $-6.25$。 一个是正，一个是负。 惯性就是 $(1, -1)$。 这说明，哪怕中间的数字如此复杂，只要配平成功，对角线的正负号就锁死了。 这就是惯性定理的威力：中间的数字（特征值）如何算，如何变，正负号是不变的，只要原式正定，结局就一定是正定的。 故此，证明的核心就在于：通过合法的线性变换（配平方），确认变换后的二次型矩阵的对角元要么全为正，要么全为负。一旦这一步确认了，惯性就立竿见影了。 这种配平的过程，实际上就是在做“寻找特征根”的逆向操作。我们在找特征值的时候，是通过特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来找根的。而在配平方时，我们是直接通过代换 $y_i = x_i + k x_j$ 来消除交叉项。数学上这两者是等价的，只是视角不同。配平方是构造性的，特征值计算是解析性的。 但甭管如何，惯性定理告诉我们，不管用啥工具，只要结局存有，那正负分量的计数就是固定的。 故此，当我们在练习配平方时，计算过程中出现的那个“中间值”——也就是配平后那个负得了得的系数，它不会骗人。它直接告诉我们要丢掉的特征值到底是正的还是负的。 比如前面那个例子，配平后剩下 $-frac{25}{4}x_2^2$，这个负号清清楚楚地指向了特征值 $-frac{25}{4}$。
要是我们算错了，比如配成了 $+frac{25}{4}x_2^2$，那惯性就是 $(1, 1)$ 了，意思就是正定的。
这时候就要回头检查配平过程中的符号了。 这说明定理不只是是结论，更是一种校验机制。它让你知道，甭管如何折腾，只要方向对了，结局就不会跑偏。 故此，学习这个定理，本质上是在学习如何透过纷繁复杂的系数波动，去捕捉那个拍板性的、不变的“本质特征”。
这就是它作为判别器的核心意义。