弦切割定理-弦切割定理

弦切割定理这事儿，实际上跟切西瓜要么切披萨没啥两样，就是一条直线在圆上滑了一圈，从圆外一点往里切，把圆周分成了两段，要么跟圆上那一段线段一碰，就出了个定理。咱先不说那些大道理，就着个老辈子的图说个明白。 你拿一支铅笔，在一张圆形的纸上画个大圆。
然后在纸外面捡一样硬东西，比如一块小石头，往圆上戳。
这时候你会发现，这把石头切过来的直线，跟圆相交的地方，总得有两个点吧？别急，我们把这两个交点圈起来，你就看到弦了。弦就是圆上连起来的那段弧。
然后你看，这根弦又在圆内把圆周分成了两局部。
这就好比你拿刀切菜，刀刃碰到菜的两头，中间那段就是切下来的菜。 那个定理的名字叫做“割线定理”，听着有点啰嗦，实际上就是个好办的比例关系。它说的就是：从圆外一点出发，引出的两条直线，分别切圆于两点，那么这两条切线段跟圆的半径比，要么是切线跟割圆的线段比，是相等的。为了让人好记，大家把这个定理叫作“切割定理”，实际上也没毛病，出于它确实是在切割过程中被发现的规律。 举个例子，要是圆是个半径是 5 米的圆。你在圆外站着，手里拿了一根棍子，棍子一头抵住了地面，圆外一点是脚底，脚底到棍子跟地面的接触点是 A。
然后你把棍子往圆上戳，棍子两头分别在圆上，一个是 A，另一个是 B，那 A 到圆上这一小段就是切线，长度要是是 8 米。
接着你又从脚底切出一条长路，穿过地面，走到了圆上，这段路是割线，总长度是 40 米。
那这中间被切剩下的局部，就是 AB 这段弦。根据切割定理，脚底到棍子跟地面的距离、棍子跟地面的距离、棍子总长度跟圆的半径，这四个数之间是有倍数关系的。 你看，脚底到棍子跟地面的距离（切线长平方）除以棍子跟地面的距离（割线总长），等于棍子跟地面的距离（切线长）除以圆的半径。
这图忒直观了，只要大家能把这四个数值对应上，就能瞬间明白。比方说，要是你算出脚底到棍子跟地面的距离是 2，棍子跟地面的距离是 8，那棍子的总长度就是 10 米。
这时候这 10 米就是切线长。
那弦长呢？就是 40 米减去 10 米，等于 30 米。好办粗暴地一算，比例关系就得出来了。 咱们再换几个场景，看看这定理在不同情况下的样子。
第一种情况是切线。你站在圆外，只拿一根棍子，棍子一头在地面，一头在圆上，跟圆切了个正着。
这时候割线长度就是半径，割线长度就是切线长度。你走在地上，把棍子往圆上怼，你会发现棍子被切成了两局部。一局部是地面到棍子跟地的距离，那就是切线长；另一局部就是棍子跟地面的距离，那就是割线总长。
这时候割线长比切线长的平方，一辈子等于半径。你要是算错了，只要把半径改成地面到棍子跟地的距离，那棍子跟地的距离就是切线长，乘以半径就是割线总长。
这个逻辑特别顺，就像运动员跑 400 米，要是跑了 200 米，那剩下 200 米就是圈长，200 乘以 400 就是距离。 第二种情况就是割线。你从圆外一点，往四面八方画了两条线，一条切圆，一条割圆。
这时候切线长就是从一个脚底到棍子跟地的距离。割线总长就是从一个脚底到棍子跟地的距离加上棍子跟地的距离。
这时候切线长，加上割线总长减去切线长，就是弦长。
也就是说，弦长等于两根割线长度相减。
这个关系你再熟悉不过了。 第三种情况是圆周。就是棍子两头都在圆上，跟圆重合了。
这时候割线就是棍子总长，切线长就是弦长。
这时候割线减去切线，就是弦长。
这个关系你肯定见过几次。 那定理到底说了啥意思呢？核心就在“比”上。从圆外一点，引一条切线，切圆于 A 点，再引一条割线，割圆于 B 点和 C 点。则 AB 的长度，等于 AC 的长度。
也就是说，从脚底到棍子跟地的距离，跟从脚底到棍子跟地的距离，这两个长度，是相等的。
这句话有点绕，咱们慢点听。脚底到棍子跟地的距离，就是切线长。从脚底到棍子跟地的距离，就是割线总长。AB 是切线长。AC 是割线总长。
故此，AB 等于 AC。意思是说，从圆外一点到圆上切线段的长度，等于从圆外一点到圆上割线段总长度的长度。 这个结论听起来普遍一点，实际上挺实用。
比如你在学校里做题，要么做数学竞赛，要么玩数学游戏，时常遇到这种难题。
比方说，从圆外一点引切线，切线长是 5，割线长是 25，那弦长就是 25 减去 5，等于 20。再比如，切线长是 10，割线长是 30，那弦长就是 30 减去 10，等于 20。
只要你把这三个数连起来，逻辑就通了。 再看看弦切角定理，这是另一个有趣的结论。弦切角定理说的是，弦切角等于夹在弦和切线之间的圆周角。比方说，你用这把切刀切圆，切下来的弦是 AB，你从圆外一点引出一条切线，切圆于 A 点，切线跟弦 AB 夹角是 30 度。
那么你再看圆周上，以 A 为圆心画个圆，画个弧把圆周分成两局部。在这两局部里的圆周角，应当是 30 度。
这个关系成立。
为啥呢？出于所有过 A 点的圆周角都相等。
要是你把圆周上另一点 C 画出来，连接 CA，再画个角 ACB，你会发现这个角也是 30 度。 那弦切角定理跟切割定理有啥关系呢？实际上是互相支撑的。出于切割定理告诉你圆外一点到圆上切线段的长度，等于割线段总长度减去切线段长度。
这实际上就是把弦切角定理的几何意义给量化了。
要是说圆周角是固定的 30 度，那你用切割定理算出来的长度，也有了具体的数值。
比如你从圆外一点画了一条割线，割线段总长是 40，切线段长是 10，那剩下的弦长就是 30。
要是弦切角是 30 度，那对应的圆周角也是 30 度，这在圆内接四边形里是成立的。 最终再说说弦心距。弦心距就是圆心和弦的中点连起来的那条线段。
这个长度跟弦长、半径之间是有定关系的。弦越长，弦心距越短；弦越短，弦心距越长。
要是弦是直径，弦心距是 0。
要是弦挺短，简直是个个点，弦心距接近半径。
这个关系在几何里贼关键，比如在证明三角形是等腰的时候，时常用到这个。 弦切割定理别看听起来好办，但它把圆外一点到圆上的几何关系给串起来了。从切线到割线，从弦长到弦心距，从圆周角到弦切角，这些内容都是围绕在切割定理这个核心上转的。它让原本抽象的圆，变得没那么难搞。
只要理解了从圆外一点出发，切线长和割线长的关系，你就根本掌握了圆在外切局部的几何特征。至于具体的数值，大家自己代入算一算，逻辑通顺就行。 总而言之，这个定理就是讲：从圆外一点，引切线和割线，切线长等于割线总长减去切线长。好办记成：切线长 = 割线总长 - 切线长。就是如此好办。
要是哪位记不住，只要知道弦长等于割线减切线即可。
这大约就是割线定理的全体魅力所在吧，好办、直接、好用。