韦达定理典型例题-韦达定理典型例题

韦达定理不是冷冰冰的公式，是两根水草在枯水期里的拉扯 韦达定理，那几行像数学教科书一样冷冰冰的式子，(a_1 + a_2 = -frac{b}{a})，(a_1 cdot a_2 = frac{c}{a})，放在纸上看着挺起劲的。但说实话，当年我才记不住这四个字，直到看到例题里两个数加起来正好等于 -4，乘起来等于 -30，脑子里突然就蹦出了个“韦达”两字。
那一刻我才明白，这东西不是冷冰冰的公式，是两根水草在枯水期里的拉扯。 你当作只要把两根水草放进河里，它们会自动互相问好，换位置，然后告诉你目前的长度？不一定。
有时候，它们可能根本碰不到一起，就连出于水流忒急，根本出不来水面。你得拿个尺子，一头紧紧夹住水草的根部，另一头也在根部，然后慢慢往里拽。
这时候你可能会发现，它们先是一动，然后你启动往下扯，你会发现水草的顶端被你的手指头顶住了，这就相当于方程的根在变，要么是在跑。 要是两根水草是热的，它们就会互相拥抱，温度蹭蹭往上升；要是它们被冻得瑟瑟发抖，一碰就缩成一团，就连互相排斥，根本推不在一起。
这时候你就要小心了，别把水草给弄断了，也别让它们出于温度忒低直接冻坏了。在分析里，我们就是拿着那个尺子，试图把两根水草“拽”到一起。 有时候，你根本不需求把两根水草都放下水。你只需求抓住其中一根，让它在水里游动，看看它能不能碰到另一根。
要是这两根水草本来就在同一条河流里，只要水流不堵，它们大约率能碰到。但要是它们在大海的对岸，要么被两座大山隔开了，你要如何知道它们会不会碰到？这时候，你只能靠这公式来“猜”一下。 实际上啊，这个公式最妙的地方在于，它不管两根水草之间有没有碰，不管它们是不是在虚空中跳舞，只要你把它们看作是在一条直线上，你总能算出它们的和与积。
这是它最了得的地方，也是它最让人困惑的地方。 举个例子，假设有两个数，(a) 和 (b)。我们随意给它们搞个关系，比如 (a) 是 (b) 的两倍，(a = 2b)。
这时候，它们的和就是 (3b)，它们的积就是 (2b^2)。目前，要是你不告诉我 (a) 和 (b) 具体是多少，只告诉我这两个数的和是 3，积是 2。你会不会认定，这两个数一定是 (1) 和 (2)？
要么 (0.5) 和 (6)？
要么 (0.25) 和 (12)？ 你可能会认定，随意给两个数，和是 3，积是 2，那它们就一定是 (1) 和 (2)。
这时候你心里可能还在嘀咕，是不是真只有这一种算法？要是让你去验证，你会把 (3b) 设成 3，(2b^2) 设成 2，解出来的 (b) 是多少？ 这时候你就该知道，韦达定理不是让你急着定论，而是让你去“试试”。你去试，你会发现，不管你给 (b) 设个啥值，只要知足那个和和积的条件，那 (a) 和 (b) 就一定是 (1) 和 (2) 的某种排列组合。
这就是公式的威力，它能把那些千奇百怪的数据，强行拉回那条唯一的直线上。 再说说，这个公式在啥时候特别好用？比如在解一元二次方程的时候，你不需求把那个可怕的一元二次方程展开，你就直接跳到了韦达定理这一步。你只需求知道，这个方程的两个根之和是 -4，两个根的积是 -30。 这时候，你心里可能会想“呵，我早就知道答案了”。你就随意选个 (b=1)，算出 (a=-4, b=-30)。
这时候你可能就拿到了根是 -4 和 -30。可别高兴得忒早，这俩根加起来是 -34，乘起来是 120000。
显然，你算错了。 不对吧？
如何乘出来的结局不对？你肯定哪儿搞错了。
这时候你该明白，韦达定理告诉你的是“和”与“积”，它告诉你的是两根的关系，但它不是告诉你根的具体数值。你只需求知道，这两个根知足那个关系，你就敢去试。 比如，你想求一个方程的根，你设其中一个根是 (t)，另一个根就是 (-frac{c}{a}) 和 (-t) 的关系。
这时候你就知道，这两个根的和是 (-frac{c}{a})，积是 (-frac{c}{a} cdot t)？不对，是 (-frac{c}{a} cdot t) 的某种变体。好办来说，就是利用 (a_1 + a_2 = -frac{b}{a})，你能够把其中一个方程看作另一个方程的“倍数变形”。 这时候你就会发现，这个公式实际上就是一条线索。你顺着这条线索走，哪怕你一启动不知道终点在哪，你也能一步步逼近。 并且啊，这个公式还有另一个特别的地方，就是它能在你彻底不知道根是啥的时候，帮你“找”出根。
比方说，你只知道两个数的和是 1，积是 2。
这时候你心里可能会想，这两个数一定是一个正数，一个负数吧？出于要是都是正数，积就不可能是负数了；要是都是负数，和也不可能是正的。 这时候你只需求设这两个数为 (x) 和 (y)。
既然 (x+y=1)，(xy=2)，那你能够设 (y = 1-x)。代入积的那个式子，(x(1-x) = 2)。展开就是 (x - x^2 = 2)，整理一下就是 (x^2 - x + 2 = 0)。
这时候，你又回到了那个一元二次方程的解法。 这时候你可能会想，“呼，终于解出来了”。但我突然意识到，这过程中实际上没有用到韦达定理，我只是随意设了一个变量，强行凑出了个东西。
这时候，你大约该明白，韦达定理不是让你去解方程，它是让你去“猜”方程的根。 你猜，你设，你试，你会发现，只要你的猜法是对的，那个公式就能把你带回来。它就像是一个探题人，一个拿着尺子的老手，把你手中的那两根水草，一点点往里拽，一点点往中间拉，直到它们停在那唯一的位置上。 有时候，你就连不需求把两个根都算出来。你只需求知道，这两个根的和是多少，积是多少，你就知道它们肯定知足那个关系。
这就好比你在考场上，只要敢把答案写对，哪怕你是瞎蒙的，老师也是给你改对的。 这就是韦达定理的魅力，它不追求完美，它追求的是“通”与“变”。它告诉你，不管这两个数是如何来的，不管它们之间有没相关系，不管它们是不是在虚空中跳舞，只要你把它们看作是在一条直线上，你总能算出它们的和与积。 故此，下次你看到这道题，别急着去算根，也别急着去解方程。先看看这两个数是如何“扯”在一起的。
看看它们能不能碰到，看看它们会不会出于温度忒低要么忒热而断掉。
看看它们是不是在一条直线上，能不能顺着那条线找到终点。 要是它们能碰到，那你就大胆地去算。
要是它们碰不到，那就别慌，拿着公式去“猜”，去“试”，去“拉”。
只要方向对了，哪怕你一启动不知道终点在哪，你也能一步步逼近，直到两根水草在直线上相遇。 这就是韦达定理，一根水草，两根水草，一条直线，一场关于“和”与“积”的拉扯。