三角形性质及定理-三角形性质与定理

抛开那些教科书里像背书一样规整的“起初其次最终”要么“”，实际上三角形这事儿，往往别看表面光鲜，里头全是些让人摸不着头脑的变数。 先说定三条边，那是死死的。
要是你量出三条边，比如三条边分别是 5 厘米、7 厘米和 10 厘米，那它就是唯一的形状。
不管如何扭，这三条木棍只要长度对得上，拼出来的三角形就摆在那儿，唯一的可能性只有一个。
这就是所谓的“边边边”定理，也叫“SSS"。
要是这条边边边给定了，那面积没跑了，高、底、腰，全算出来，唯一。 但要是知道两条边，情况就复杂了。你手里有两根筷子，比如 5 厘米和 8 厘米，中间那根夹着角的地方是个未知数。
这时候你要么知道那个夹角的度数，要么知道两边夹边的线段长，才能算出面积。
要是只知道一边，比如错了，只有一句"8 厘米”，那这玩意儿可能比 8 厘米长，也可能比 8 厘米短，就连可能等于 8 厘米。你根本没法拼出一个确定的三角形，只能拿到一个范围。 再看三条角，那个就最玄学了。你手里拿着三个角，比如 30 度、45 度、90 度。
你看着类似个直角，可角度的大小可不能按字母顺序排列。30 度比 45 度小，没错；但 45 度比 90 度小，也错。
这三个角能不能拼成一个三角形，得看能不能放得进。
要是边的比例和角的正弦值比例不一样，那它就是个“扭曲”的三角形，要么叫非欧几里得空间里的东西，在一般/平平平面几何里它不存有。 那啥时候能确定呢？我们来看看“正弦定理”。
这个定理别看名字听着挺绕，但道理实际上挺好办。它说的是，只要知道任意一边跟一个角的正弦值，那其他两边和对应角的正弦值，跟这个边长跟这个角正弦值成比例。
说白了就是：边长越大，对应的角也越大，这是铁律。 举个例子，看图讲话。有一块三角形铁皮，我不知道它多挤，也不知道它有多宽。但我量一下，它有一边是 30 厘米，这一个角是 45 度。
这还不够。得知道这个角对的那条边，也就是 30 厘米那条边，跟另外两条边和另外两个角的关系。用正弦定理一算，别的边长大约就有 10 厘米至 50 厘米之间的量。
这范围忒大了，没法做。 要想算得准，务必“已知两边及其夹角”，就连“已知两边之和大于第三边”。
比如我们拿个尺子量一下，发现两个角分别是 60 度和 70 度，夹在中间的边长是 20 厘米。
这时候别光看角度，得看边长。
要是另外两边加起来是 30 厘米，那肯定拼不出这个三角形；要是加起来是 40 厘米，那就行。
这时候三角形就“立”起来了。 另外，三角形还有一个绝活叫“高比”。
要是你知道三角形的周长，知道两条边的长度，想算第三条边和高是多少，实际上是个好办搞晕人的题。但只要你知道两条边和它们的夹角，哪怕这个夹角是 0 度要么 180 度（别看那是退化的三角形，不算正三角形），你也能算出它对边上的高是多少。 还有一个细节，叫“外角等于内角和”。三角形的外角，是翻个面，内角没了，多出来的这个角，它正好等于另外两个内角的和。
比如一个三角形，内角是 30 度、60 度、90 度。
那第三个外角肯定是等于另外两个内角之和，也就是 90 度。
这个逻辑别看没听出来有多牛，但它是计算外角的难题的基石。 说到这个，还得提一下“三角形不等式”。
这是最基础也最关键的约束。你要是想拼一个三角形，任意两边长度加起来，务必大于第三边。
这是硬道理。
要是你量出三根棍子，长度分别是 3、4、7，那这玩意儿拼不出来。
为啥？出于 3 加 4 等于 7，不大于 7，它只能变成一条直线，不是三角形。再比如 3、4、8，3 加 4 小于 8，肯定也拼不出来。 最终说说实际应用。在建筑上看到的那些三角形，大多是“等腰”要么“等边”。等边的就是三条边一样长，三个角也一样大，那它就是个完美的正三角形。等腰的，就是两条边一样长，那它高就只有一条，从顶点到底边中点，要么到底边的一个端点。 日常里，我们遇到的三角形得多了。屋顶的瓦片，看起来像无数个细长的三角形，但每个瓦片实际上都是一个特殊的等腰三角形，底边是屋檐，两腰是屋檐到瓦片顶角的位置。算它的面积，得知道底和对应的高。
那个高一般没法直接量，得用三角函数算，要么用勾股定理反推。 还有窗户上的玻璃，要么门框上的三角形支撑结构。
这些结构的设计，大量时候不是靠你硬算，而是靠经验。设计师根据受力情况，利用三角形的“稳定性”来加固，让房子不歪。
这听起来是物理题，实际上是几何题的变体。
只要你明白，三角形一经确定，它的内角和一辈子是 180 度，外角和一直 360 度，角平分线互相平分，median（中线）和中线互相垂直，这些性质都是一辈子不变的。 总而言之，三角形这事儿，看似规则森严，实则充满了变数。知道两边及其夹角，就能算出整个图形的骨架；知道三边，骨架就有了，面积也不含糊；要是只给单边的限制，那图就不清楚不清。在数学的世界里，细节往往藏着最大的玄机，而三角形，就是最典型的例子之一。