杨辉三角，又称贾宪三角或帕斯卡三角，是数学史上最具美感与实用价值的数学结构之一。尽管法国数学家布莱兹·帕斯卡在17世纪系统研究了这一三角形并以其命名，但早在北宋时期，中国数学家贾宪在《黄帝九章算经细草》中就已提出“开方作法本源图”，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中详细引用并推广了这一成果，因此国际数学界普遍称之为“杨辉三角”。
历史脉络：贾宪（11世纪）→ 杨辉（13世纪）→ 帕斯卡（1654年）→ 牛顿（1665年广义二项式定理）→ 欧拉（组合数学系统化）
杨辉三角不仅是中国古代数学成就的杰出代表，更是连接代数、组合学与概率论的重要桥梁。它以直观的几何形式揭示了二项式展开系数的内在规律，为后世数学发展奠定了坚实基础。在没有计算机的年代，数学家们依靠这张三角形快速计算高次二项式展开式，极大提高了代数运算效率。
有趣的是，杨辉三角的构造思想与现代计算机科学中的递归算法高度契合。每一行数字都由上一行相邻两数相加得到，这种自底向上的构建方式正是动态规划思想的早期体现。从这个角度看，杨辉三角不仅是数学知识的结晶，更是人类计算思维的早期范式。
杨辉三角的现代定义
杨辉三角是一个无限的等边三角形数阵，其中第n行（从第0行开始计数）包含n+1个数字，每个数字等于其上方两数之和。数学上，第n行第k个数（从0开始计数）记为组合数C(n,k)，即从n个不同元素中取出k个的组合方式数。
C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
C(n, 0) = C(n, n) = 1
C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]
这种递归定义不仅为计算提供了便利，更深刻揭示了组合数的内在性质。当我们将杨辉三角与二项式展开联系起来时，其数学意义便更加清晰：杨辉三角的第n行恰好对应$(a+b)^n$展开式的系数序列。