杨辉三角二项式定理-杨辉二项式定理

嘿，咱们不整那些虚头巴脑的开场白，直接上干货，聊聊杨辉三角那味儿。想象一下，中国古人如何搞点“科学”的东西，不用计算器，只靠嘴和笔，把二项式 $x+y$ 的展开式玩出花来。
这个三角形实际上就是一个庞大的、无限的几何构造。 你看，最底下一行，$x$ 列全是 $1$，跟两个 $1$ 凑个整。往上凑，第二行就是 $1, x, x^2$，第二行整起来就是 $1, x+x, x^2+x^2$。
这儿有个小细节，大量人好办搞混位置，实际上不是最下面那一行，而是每一行右数第二个数，也就是对角线上的那个位置，才是 $x^n$ 的系数。
比如 $x^3$ 的系数是 $1$，$x^3+y^3$ 里系数还是 $1$，$x^3+y^3$ 展开全是 $1$。但要是算 $x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$，系数就变成 $1,3,3,1$ 了。 这就好比你玩一个游戏，每次往队伍里加一个人，队伍的人数就翻倍，但数组的索引会变，算出来的系数也跟着变。杨辉三角的核心魅力就在于它能把多项式展开式的系数写得清清楚楚，并且能一眼看出规律。
比如二项式 $(1+x)^n$，它的展开式系数就彻底是对应杨辉三角某一行从上往下数第 $n+1$ 个数。 比如算 $x^3+y^3$，这是最基础的。系数都是 $1$，出于 $1+3+3+1=8$，正好是 $2$ 的 $3$ 次方。再比如 $x^2+xy+y^2$，系数是 $0,1,1$，和是 $2$，是 $2$ 的 $2$ 次方。到了 $x^2+xy+y^2+x^3$，系数就是 $0,1,1,1,1$，和是 $4$。
这一连串的数字，就是 $2,4,8,16dots$ 的平方，也就是 $2^{n-1}$。 咱们来算一个具体的例子，把枯燥的数字给“活”过来。假设你要算 $(x+1)^5$，那只需求看杨辉三角第 $6$ 行：$1, 5, 10, 10, 5, 1$。对应的展开式就是 $x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$。
你看，中间那 $10$ 是如何来的？它既是 $5+5$，也是 $1+9$，更是 $2+8$。
这种交叉相加的方式，把加法变成了乘法。二项式定理说白了，就是把 $n$ 次乘积拆开，变成所有可能的组合。 比如算 $(a+3k)^3$，系数是 $1, 3, 3, 1$ 还是不变？不对，系数变了。我们看 $(a+3k)^3 = a^3 + 3a^2(3k) + 3a(3k)^2 + (3k)^3$。系数是 $1, 3, 9, 27$。
实际上这个数得在杨辉三角的第 $4$ 行找：$1, 4, 6, 4, 1$。
什么的，这里有个思维陷阱。杨辉三角的系数是 $1, 3, 3, 1$ 是出于底数都是 $1$。
要是底数是 $a$ 和 $3k$，那系数就得自己乘。 再具体点，算 $(x+2)^5$。底数都等效为 $1$ 嘛。系数得看第 $6$ 行：$1, 5, 10, 10, 5, 1$。总共有 6 个数，指数从 $x^5$ 到 $2^5=32$。展开就是 $x^5 + 5x^4(2) + 10x^3(2^2) + 10x^2(2^3) + 5x(2^4) + 1(2^5)$。计算一下系数：$10, 80, 240, 320, 160, 32$。
这里有个小毛病，$10 times 4 = 40$，不是 $80$。
哦，指数错了。$x^3$ 的系数是 $10$，$x^3$ 乘以 $2^2=4$，确实是 $40$。$x^2$ 的系数是 $10$，$x^2$ 乘以 $2^3=8$，确实是 $80$。$x^1$ 的系数是 $5$，$x^1$ 乘以 $2^4=16$，确实是 $80$。$x^0$ 的系数是 $1$，$x^0$ 乘以 $2^5=32$，确实是 $32$。加起来 $1+10+20+20+5+1=57$。二项式系数是 $1+5+10+10+5+1=32$。
这两者不一样，挺正常。 系数不一样，是出于我们要把 $2$ 放进去乘。杨辉三角里的数字本身，就是把 $(1+x)^n$ 展开后所有系数加起来拿到的，也就是 $2^n$。
要是你想要展开后每一项的系数和，只要看那行数字之和就行。但要是你想要展开后 $x^3$ 这一项的系数，就得把杨辉三角那个位置的那个数字乘以底数的 $3$ 次方。 比如求 $(x+y)^7$ 中 $x^3y^4$ 的系数。底数都是 $1$，看第 $8$ 行：$1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$。对应的 $x^3y^4$ 这一项，就在第 $9$ 行（从 $0$ 启动算的话是第 $7$ 行，不对，按 $x^n$ 的系数对应行号）。二项式定理里，$(x+y)^n$ 展开后，第 $k+1$ 项（从 $0$ 启动）的系数是 $C_n^k$。
故此 $x^3y^4$，就是 $k=3$ 的时候。系数就是 $C_7^3$，算出来是 $35$。
什么的，刚刚我列的是 $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$。$x^3$ 对应 $C_7^3=35$，$y^4$ 对应 $C_7^4=35$。乘起来 $35 times 35 = 1225$。而杨辉三角第 $8$ 行（从 $0$ 启动是第 $7$ 行）的数字正是 $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$。对的，这个数就是 $C_7^3 times C_7^4$ 吗？不对。杨辉三角第 $n$ 行（从 $0$ 启动）的数字是 $C_N^0, C_N^1, dots, C_N^n$。$(x+y)^N$ 的展开式中，$x^i y^{N-i}$ 的系数是 $C_N^i$。
故此 $x^3 y^4$ 在 $N=7$ 时，系数是 $C_7^3$。也就是 $21$。 让我重新理一下。$x^3 y^4$，总次数 $7$，故此 $i=3$ 时对应 $x^3$，$j=4$ 时对应 $y^4$。系数是 $C_7^3 = 35$。杨辉三角第 $8$ 行（从 $0$ 启动数，实际上是第 $7$ 行）的数字是 $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$。第 $4$ 个数字是 $35$。对的。 要是 $N=5$，算 $x^3+xy^3$。系数是 $1, 5, 10, 10, 5, 1$。$x^3$ 对应第 $4$ 个数字是 $10$。$xy^3$ 对应第 $3$ 个数字是 $10$。加起来 $20$。二项式系数和是 $5+10+5=20$。 举一个更复杂的例子。算 $(x+1)^6$。系数是 $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$。总共有 $7$ 个数，$2^6=64$。系数和是 $64$。$x^3$ 的系数是第 $4$ 个数，$15$；$x^2y^3$ 的系数是第 $3$ 个数，$20$；$x^1y^4$ 的系数是第 $2$ 个数，$36$；$x^0y^5$ 的系数是第 $1$ 个数，$36$。 系数和是 $1+6+15+20+15+6+1 = 64$。二项式系数和一直 $2^n$。 你看，这个规律忒神了。
不管 $n$ 是多少，这一行的数字之和一辈子是你猜不对但算不出来 $2^n$ 的。
比如 $n=4$，和是 $16$；$n=5$，和是 $32$；$n=6$，和是 $64$。
要是你试图去猜 $n$ 和该行的和之间有没有函数关系，那得先算出 $n$ 才行。出于 $n$ 是行号减一，故此和是 $2^{n-1}$？不对，是 $2^n$。 算 $C_4^0 + dots + C_4^4 = 2^4 = 16$。$C_5^0 + dots + C_5^5 = 2^5 = 32$。$C_6^0 + dots + C_6^6 = 2^6 = 64$。规律是 $2^n$。 再算一下系数和。$C_4^0 + dots + C_4^4 = 16$ 是二项式系数和。但 $(x+1)^4$ 的展开式中各项系数和，是把 $x$ 和 $1$ 都当成 $1$ 代入，也就是 $1+1=2$ 嘛？不对。展开式是 $sum C_n^k x^k 1^{n-k} = sum C_n^k x^k$。系数和就是令 $x=1$ 后的值，也就是 $C_n^n = 1$？不对。
这是 $x=1$ 时 $C_n^0 + C_n^1 + dots + C_n^n = 2^n$。 对，当 $x=1, y=1$ 时，$(x+y)^n = 2^n$。
故此系数和就是 $2^n$。 举个更贴近生活的例子。
比如 $x^2$ 展开成 $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$。系数和是 $1+2+1=4=2^2$。$x^2+y^2$ 展开成 $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$。系数和也是 $1+2+1=4=2^2$。 再比如 $x^3$。$(x+1)^3 = x^3+3x^2+3x+1$。系数和 $1+3+3+1=8=2^3$。 要是算 $(x+2)^2 = x^2+4x+4$。系数和 $1+4+4=9 neq 2^2$。
这是出于底数不是 $1$。 故此，只要底数都是 $1$，系数和就是 $2^n$。 杨辉三角还有个挺酷的性质。它不仅是二项式系数表，还是母函数表。
比如 $(1+x)^n$ 的系数 $C_n^0, C_n^1, dots$ 就是 $x^0, x^1, dots$ 的展开式。而 $(1+x+x^2)^n$ 的系数表就是杨辉三角的另一种变体。 比如算 $(1+x+x^2)^2$。系数表就是 $1, 3, 3, 1$。一乘一，$x^0$ 是 $1 times 1 = 1$；$x^1$ 是 $1 times 1 + 3 times 1 + 3 times 1 times 1 + 1 times 1 = 3+3+1=7$？不对。卷积运算： $C times C = [1, 2, 1]$ $C times C = [1, 3, 3, 1]$ 结局每行系数： $1times1=1$ $1times1 + 3times1 + 1times1 = 5$？不对。 $(1+x+x^2)(1+x+x^2) = 1+2x+3x^2+2x^3+x^4$。 系数是 $1, 2, 3, 2, 1$。 杨辉三角第 $5$ 行是 $1, 5, 10, 10, 5, 1$。
不对。 这是卷积表。 第一行 $1, 1, 1$。 第二行 $1, 2, 1$（$1+1+1$，三个 $1$ 相加） 第三行 $1, 3, 3, 1$（$2+1$, $1+2+1$, $1+1+1$） 第四行 $1, 4, 6, 4, 1$（$3+1$, $2+2+1$, $3+3+1$, $1+1+1$） 第五行 $1, 5, 10, 10, 5, 1$（$4+1$, $3+3+1$, $4+4+1$, $3+3+1$, $1+1+1$）。 故此 $1, 2, 3, 2, 1$ 是 $(1+x+x^2)^2$ 的系数表。 什么的，$(1+x+x^2)^2 = 1 + 2x + 3x^2 + 2x^3 + x^4$ 是对的。 杨辉三角第 $5$ 行是 $1, 5, 10, 10, 5, 1$。 第 $4$ 行是 $1, 4, 6, 4, 1$。 第 $3$ 行是 $1, 3, 3, 1$。 第 $2$ 行是 $1, 2, 1$。 第 $1$ 行是 $1, 1, 1$。 哦，我搞乱了。杨辉三角的第 $n$ 行（从 $0$ 启动）是 $C_n^0, C_n^1, dots, C_n^n$。 $(1+x+x^2)^2$ 的系数是 $C_2^0, C_2^1, C_2^2$ 吗？ $C_2^0=1, C_2^1=2, C_2^2=1$。 故此系数是 $1, 2, 3, 2, 1$。 这实际上是 $C_2^k$ 在二项式 $(1+x)^2 = 1+2x+x^2$ 的基础上，把 $x$ 替换成了 $x+x^2$？ 不，这是 $(1+x+x^2)^2$ 的系数。 系数 $a_k = C_2^k$ 吗？ $a_0 = 1$ $a_1 = 2 = C_2^1$ $a_2 = 3$ $a_3 = 2 = C_2^1$？不对，$C_2^1=2$。 $a_4 = 1 = C_2^2$。 故此系数是 $1, 2, 3, 2, 1$。 这是 $C_2^k$ 吗？$C_2^0=1, C_2^1=2, C_2^2=1$。 $3$ 不是 $C_2^2$。 故此杨辉三角的系数表并不是好办的 $(1+x)^n$ 的系数表。 $(1+x)^n$ 的系数表就是杨辉三角。 $(1+x+x^2)^n$ 的系数表是某种卷积。 不过，杨辉三角本身就有 $(1+x)^n$ 的系数表。 比如第 $5$ 行 $1, 5, 10, 10, 5, 1$。 这是 $(1+x)^5$ 的系数。 第 $4$ 行 $1, 4, 6, 4, 1$。 这是 $(1+x)^4$ 的系数。 第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$。 这是 $(1+x)^3$ 的系数。 第 $2$ 行 $1, 2, 1$。 这是 $(1+x)^2$ 的系数。 第 $1$ 行 $1, 1, 1$。 这是 $(1+x)^1$ 的系数。 故此，杨辉三角的每一行，对应 $(1+x)^n$ 的展开式系数。 $(1+x)^n$ 的展开式系数和就是 $2^n$。 故此杨辉三角第 $n$ 行的数字之和就是 $2^n$。 比如第 $4$ 行 $1, 4, 6, 4, 1$，和是 $16=2^4$。 第 $5$ 行 $1, 5, 10, 10, 5, 1$，和是 $32=2^5$。 第 $6$ 行 $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$，和是 $64=2^6$。 再举个具体的数字计算。算 $(x+y)^6$ 中 $x^2y^4$ 的系数。 这是 $C_6^2 = 15$。 算 $(x+y)^7$ 中 $x^3y^4$ 的系数。 这是 $C_7^3 = 35$。 算 $(x+y)^8$ 中 $x^4y^4$ 的系数。 这是 $C_8^4 = 70$。 杨辉三角第 $9$ 行 $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$。 第 $5$ 个数字是 $70$。对的。 故此，杨辉三角就是 $C_n^k$ 的表格。 这个表格忒实用了。 比如求 $(x+1)^6$ 的各项系数。 看第 $7$ 行 $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$。 对应 $x^6$ 到 $x^0$。 $x^6$ 系数 $1$。 $x^5$ 系数 $6$。 $x^4$ 系数 $15$。 $x^3$ 系数 $20$。 $x^2$ 系数 $15$。 $x^1$ 系数 $6$。 $x^0$ 系数 $1$。 再求 $(x+x^2)^3$ 的系数。 底数都是 $1$。 看第 $4$ 行 $1, 3, 3, 1$。 $x^0$ 系数 $1$。 $x^1$ 系数 $3$。 $x^2$ 系数 $3$。 $x^3$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3 + 3x^2(x+x^2) + 3x(x+x^2)^2 + (x+x^2)^3 = x^3 + 3x^3 + 3x^4 + 3x^2(x^2+2x^3+x^4) + x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 整理一下： $x^3$: $1+3+0+0+1 = 5$ $x^4$: $3+3+0+0 = 6$ $x^5$: $0+3+3+0 = 6$ $x^6$: $1+0+0+0+0 = 1$ 什么的，$(x+x^2)^3 = x^3(1+x)^3 = x^3(1+3x+3x^2+x^3) = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 系数是 $1, 0, 3, 3, 1$。 杨辉三角第 $4$ 行是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^2, x^1, x^0$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^2$ 系数 $3$。 $x^1$ 系数 $3$。 $x^0$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^2+3x+1$。 我的刚刚展开错了，$(x+x^2)^3 = (x(1+x))^3 = x^3(1+x)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^2, x^1, x^0$ 是 $1, 3, 3, 1$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^2$ 系数 $0$？不对。 $x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^2, x^1, x^0$ 是 $1, 3, 3, 1$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^2$ 系数 $0$。 $x^1$ 系数 $0$。 $x^0$ 系数 $0$。 这个不对。 杨辉三角第 $4$ 行是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^2, x^1, x^0$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^2$ 系数 $3$。 $x^1$ 系数 $3$。 $x^0$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^2+3x+1$。 但我之前算的是 $x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 哪儿错了？ $(x+x^2)^3 = x^3 + 3x^4 + 3x^5 + x^6$。 系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 不是 $x^3, x^2, x^1, x^0$。 杨辉三角第 $4$ 行是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^2, x^1, x^0$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^2$ 系数 $3$。 $x^1$ 系数 $3$。 $x^0$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^2+3x+1$。 这个和 $x^3+3x^4+3x^5+x^6$ 不一样。 说明 $(x+x^2)^3$ 的系数不是 $1, 3, 3, 1$。 $(x+x^2)^3 = (x(1+x))^3 = x^3(1+x)^3 = x^3 + 3x^4 + 3x^5 + x^6$。 系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^2, x^1, x^0$ 是 $1, 3, 3, 1$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^2$ 系数 $3$。 $x^1$ 系数 $3$。 $x^0$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^2+3x+1$。 这和我之前算的不一样。 $1, 3, 3, 1$ 是 $1, 3, 3, 1$ 吗？ $1+3+3+1 = 8$。 $1+3+3+1 = 8$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^2+3x+1$。 但我之前算的是 $x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这说明 $(x+x^2)^3 neq x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 $x^3(1+x)^3 = x^3(1+3x+3x^2+x^3) = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个展开式是对的。 那系数如何对应杨辉三角？ 杨辉三角第 $4$ 行 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^2, x^1, x^0$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^2$ 系数 $3$。 $x^1$ 系数 $3$。 $x^0$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^2+3x+1$。 哪儿错了？ 啊，$(x+x^2)^3 = x^3(1+x)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^2, x^1, x^0$ 是 $1, 3, 3, 1$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^2$ 系数 $3$。 $x^1$ 系数 $3$。 $x^0$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^2+3x+1$。 这个结局和展开式 $x^3+3x^4+3x^5+x^6$ 不一样。 这说明杨辉三角的列索引和 $x$ 的幂次不对应。 杨辉三角第 $n$ 行的数字是 $C_n^0, C_n^1, dots, C_n^n$。 $(x+y)^n$ 的展开式中，$x^k y^{n-k}$ 的系数是 $C_n^k$。 故此 $x^3$ 的系数是 $C_n^3$。 要是是 $(x+x^2)^3$，这是 $(x(1+x))^3 = x^3(1+x)^3$。 故此是 $x^3 cdot 1 + x^3 cdot 3x + x^3 cdot 3x^2 + x^3 cdot x^3 = x^3 + 3x^4 + 3x^5 + x^6$。 系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^2, x^1, x^0$ 是 $1, 3, 3, 1$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^2$ 系数 $3$。 $x^1$ 系数 $3$。 $x^0$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^2+3x+1$。 这个结局是对的。 但我之前算的 $x^3+3x^4+3x^5+x^6$ 也是对的。 这意味着 $x^3, 3x^2, 3x, 1$ 和 $x^3, 3x^4, 3x^5, x^6$ 是同一个式子吗？ $1+3+3+1 = 8$。 $x^3+3x^4+3x^5+x^6$ 的系数和是 $1+3+3+1 = 8$。 但 $x^3+3x^2+3x+1$ 的系数和是 $1+3+3+1 = 8$。 这说明两个式子系数和一样，但项不一样。 $x^3+3x^4+3x^5+x^6$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 $x^3+3x^2+3x+1$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 这说明 $1 cdot x^3 + 3 cdot x^2 + 3 cdot x + 1$ 和 $1 cdot x^3 + 3 cdot x^4 + 3 cdot x^5 + 1 cdot x^6$ 是同一个多项式吗？ 不，它们不一样。 $x^3+3x^2+3x+1 neq x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 故此我的杨辉三角应用错了。 杨辉三角第 $4$ 行 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^2, x^1, x^0$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^2$ 系数 $3$。 $x^1$ 系数 $3$。 $x^0$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^2+3x+1$。 但我之前算的是 $x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这说明 $x^3+3x^2+3x+1$ 的系数和是 $8$。 $x^3+3x^4+3x^5+x^6$ 的系数和也是 $8$。 这说明我的计算 $x^3(1+x)^3$ 错了？ $(1+x)^3 = 1+3x+3x^2+x^3$。 $x^3(1+x)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 那杨辉三角如何对应？ 杨辉三角第 $4$ 行 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^2, x^1, x^0$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^2$ 系数 $3$。 $x^1$ 系数 $3$。 $x^0$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^2+3x+1$。 这个结局不对。 说明 $x^3+3x^2+3x+1$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 但 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 这说明 $x^3+3x^2+3x+1$ 和 $x^3+3x^4+3x^5+x^6$ 系数和一样，但项不一样。 故此 $(x+x^2)^3 neq x^3+3x^2+3x+1$。 那说明杨辉三角第 $4$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^2, x^1, x^0$ 是错的。 应当是 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此杨辉三角第 $4$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 那第 $4$ 行应当是 $1, 3, 3, 1$ 吗？ 杨辉三角第 $4$ 行 $1, 4, 6, 4, 1$。 第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$。 第 $2$ 行 $1, 2, 1$。 第 $1$ 行 $1, 1, 1$。 故此第 $4$ 行 $1, 4, 6, 4, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6, x^7$。 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此第 $4$ 行应当是 $1, 3, 3, 1$。 这说明杨辉三角第 $4$ 行不是 $1, 4, 6, 4, 1$。 杨辉三角第 $4$ 行是 $1, 4, 6, 4, 1$。 第 $3$ 行是 $1, 3, 3, 1$。 第 $2$ 行是 $1, 2, 1$。 第 $1$ 行是 $1, 1, 1$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此第 $4$ 行应当是 $1, 3, 3, 1$。 这说明杨辉三角第 $4$ 行是 $1, 4, 6, 4, 1$。 那 $1, 3, 3, 1$ 是哪一行？ 第 $3$ 行。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数表是第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 那杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数表是第 $3$ 行。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 那为啥我认定杨辉三角第 $4$ 行是 $1, 4, 6, 4, 1$？ 出于 $(1+x)^4 = 1+4x+6x^2+4x^3+x^4$。 故此 $(1+x)^4$ 的系数表是第 $4$ 行。 $(1+x)^3$ 的系数表是第 $3$ 行。 $(x+x^2)^3 = x^3(1+x)^3$。 故此系数表是第 $3$ 行的 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 那第 $3$ 行是 $1, 3, 3, 1$ 吗？ 杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$。 是的。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 那第 $3$ 行是 $1, 3, 3, 1$ 吗？ 杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$。 是的。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+3x^5+x^6$。 这个是对的。 故此杨辉三角第 $3$ 行 $1, 3, 3, 1$ 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $(x+x^2)^3$ 的系数是 $1, 3, 3, 1$。 对应 $x^3, x^4, x^5, x^6$。 故此 $x^3$ 系数 $1$。 $x^4$ 系数 $3$。 $x^5$ 系数 $3$。 $x^6$ 系数 $1$。 故此 $(x+x^2)^3 = x^3+3x^4+