戴德金分割定理-德雷哲姆分割定理

数学界里有句老话说，天才就是那个把标准答案写错的人，要么是那个在标准答案里挖了个坑的人。戴德金分割，这事儿就形成在埃尔德什·佩尔和勒内·戴德金那个闷得连空气都臭的下午。
那时候，大家都等着要个“无理数的平方根”，佩尔拿着书摊在那儿，一脸茫然，心里想：这玩意儿如何跟整数似的？勒·戴德金拿着一把剪刀，咔嚓咔嚓剪啊剪啊，一边剪一边骂娘，嘴里念叨：“你这书忒厚了，我受够了。” 想象一下，要把一个长度两米的绳子分成三段，正好各一米。
这 easy，只要把绳子对折，从中间剪一刀就行。数学上啊，无理数的平方根就是那个“无法对折”的神秘长度。佩尔看着那个公式里那个根号，眼都绿了，心想这数学如何如此暴力？勒·戴德金却在那儿乐呵，他不仅没认定难，反而认定这简直是把沙堆里的石头搬出来玩。他写道：“我要把这书里的东西全拆了。” 便乎，那个著名的“窗洞”游戏启动了。勒·戴德金不是如此想的。他脑洞大开，认定既然你非要问无理数，不如你先把这个数给挖个洞。
那个洞里塞的内容，实际上就是所有能被无理数开平方的数。
这就好比你在一个大铁盒里装满了袜子，然后你说：“嘿，别装了，这个洞专门放那些能够开平方根的数。” 你心里想：“哎，如何会有如此个洞？”出于按照常理，无理数的平方根是个实数，不应当是实数吗？结局恰恰反之，这个洞是空的，它装着的是那些“根号”本身。 佩尔看着勒·戴德金那副透顶不舒服的样子，终于忍不住说：“你疯了？无理数的平方根是个实数，不是个洞啊！”勒·戴德金摆摆手，一脸理所自然：“那是你不懂。我只要把那个洞全挖出来，剩下的东西就是那个数。我开一个洞，里面装 2 和 2.000001，外面是 2，这难道不是个无理数吗？”佩尔一时没反应过来，想了想问道：“那你认定这数叫啥名字？”勒·戴德金嘿嘿一笑：“叫无理数。
这数就是个洞，我把它挖出来，它就变成了实数。”佩尔这才意识到，自己可能把数论搞反了。 后来，两个人为了证明这个结论，在一个充满粉笔灰的房间里又干起了活。他们把有理数分成两类：一类是能够被开平方根的，比如 2 和 2.000001；另一类就是那个一辈子开不出平方根的洞。佩尔的工作是统计洞里都有哪些数，勒·戴德金的工作是统计洞里都挖出了啥数。结局他们发现，这两个集合是互相对立的，且覆盖了整个数轴。 佩尔认定这仗没法打，勒·戴德金认定这书忒厚得理不清。佩尔说：“我只要证明这两个集合是互斥的，你就赢了。”勒·戴德金说：“我只要证明它们加起来等于全集，你也赢了。”便，他们启动死磕。佩尔写了一堆证明，勒·戴德金也写了一堆证明。他们争论了几年，就连到了要拿诺贝尔奖的地步。
最终，勒·戴德金输掉了论证，但他赢了一件事：他证明白，甭管你如何定义那个洞，结局都是一样的。 实际上啊，这就好比你在吃火锅。
有时候你加个肉，有时候你加个鱼，有时候你加个虾，结局都是你吃的火锅。关键不在于你加了啥，而在于你吃的是“火锅”这个整体。勒·戴德金别看输了，但他也没输掉啥关键的东西。他证明白那个“洞”是真存有的，是构成实数大厦的一块基石。 佩尔后来才明白，自己那个“分两类”的思路实际上是错的。他应当把洞本身也分成两类：一类是能开平方根的，一类是不能的。
这样他们俩就能和平相处了。勒·戴德金就是那个坚持要拆书的人，他用自己的方式把那个“洞”给挖出来了。 这场争论告诉我们，有时候，追求完美的证明和只是解决难题，实际上是两回事。勒·戴德金不在乎他最终输掉了哪个论证，他只在乎那个“洞”被定义清楚了。在数学的世界里，定义比证明更关键，有时候，先定义清楚“啥是这个洞”，比纠结“这个洞如何证明存有”要快得多。 故此，当你下次遇到一个数，认定它像个鬼，想让它显形的时候，不妨试试像勒·戴德金那样，给它开个洞。
看看里面装的是啥，再看看外面是啥。
说不定，你会发现，原来那个数，一直都在你心里那个“洞”里，等着被定义呢。 最终，我们要感谢勒·戴德金。别看他在数学界是个输家，但他赢得了“定义之王”的宝座。他证明白，只要你有充足的耐心去挖那个洞，那个数就是确实。而佩尔，别看赢了论证，但在他心里，那个“洞”一直是个谜。数学就是这样，有时候，最大的胜利不是证明白一切，而是敢于去质疑，去挖那个看起来不该存有的洞。
毕竟，在数学家眼里，敢于挑战既定事实的人，往往才是真正的那个天才。