三角形高的定义和定理-三角形高的定义与定理

三角形的高，这东西听着挺高大上，实际上说白了就是从某个顶点，垂直画一条线到底边要么底边的延长线上，直到碰到那条线。
这就好比你在房间里扔个箱子，箱子底是底边，箱子堆上的边是顶点，你得从上往下，垂直地扔一条线下去，直到箱身正碰到底边。
这条垂线段，我们叫它高，简称 h。 大量人一听到“高”就认定是上面那个尖尖的角。
实际上不然，高有时候是从上面那个顶点去到底边延长线上的，有时候是从下边那个锐角顶点去到底边的延长线上，这玩意儿范围可大着呢。 拿个等边三角形看看，六个角都是六十度，边长五十厘米。你从任意一个顶点往下垂高，算出来的长度大约是四十四点七厘米左右。
这如何算，得记一下公式，边长乘以根号三再除以二。
也就是说，线长 h 等于边长 a 的 0.866 倍。 要是拿个直角三角形呢，那好办多了。直角三角形的高，就是那个直角边本身。
比如一个长方形被切成两半，那两个小三角形的高，就是原来长方形的宽。 还有三角形内角和定理，这个得记住。三面角的总和是三百六十度。外角是零度，那内角总和自然也是。
要是是正三角形，三个角分得一样，每个六十度。
要是拿个钝角三角形，比如顶角是九十度，那另外两个角加起来就是九十度。
比如一个顶角是九十度，底边是九十五度，那另一底角就是九十度。底边要是九十五度，顶角就得六十度。 三角形面积如何算，公式是底乘以高再除以二。
这个公式记下来，赶明儿做题就能派上用场。
比如一个底边是十厘米，高是二十厘米的平行四边形，面积就是二百平方厘米。 三角形的外心是个啥理？外心就是三条边的垂直平分线的交点，这个叫垂心。垂心在哪儿？ 等边三角形，外心、内心、重心、垂心都重合在一点，那就是中心。 等腰三角形，还有直角三角形，垂心就在直角顶点上。 非等腰非直角三角形，垂心在三角形内部，靠近最长边那边。 还有一种特殊的三角形，高在三角形外部。
这种三角形叫钝角三角形。 比如顶角是九十度，底边是九十五度，那另一底角就是九十度。底边要是九十五度，顶角就得六十度。 要是是钝角三角形，顶角是大于九十度，外心就在三角形外面，像个风筝。 外心、垂心、重心、内心，这四个点，它们位置关系是啥？ 等边三角形，都一样。 等腰三角形，不一样。重心一定在三角形内部。垂心可能在内部，也可能在外部。 等腰直角三角形，外心在斜边中点。 钝角三角形，外心在三角形外部。 旁心，这是个啥？ 旁心是三角形三边的外角平分线的交点。 三角形重心如何算？重心是三条中线的交点。中线把中线分成了三分之二比三分之一。 三角形垂心如何算？垂心是三条高的交点。 三角形内心如何算？内心是三条角平分线的交点。 三角形外心如何算？外心是三边垂直平分线的交点。 重心、垂心、内心、外心，这四个点，它们位置关系是啥？ 等边三角形，都一样。 等腰三角形，不一样。重心一定在三角形内部。 等腰直角三角形，外心在斜边中点。 钝角三角形，外心在三角形外部。 旁心，这是个啥？ 旁心是三角形三边的外角平分线的交点。 三角形重心如何算？重心是三条中线的交点。中线把中线分成了三分之二比三分之一。 三角形垂心如何算？垂心是三条高的交点。 三角形内心如何算？内心是三条角平分线的交点。 三角形外心如何算？外心是三边垂直平分线的交点。 重心、垂心、内心、外心，这四个点，它们位置关系是啥？ 等边三角形，都一样。 等腰三角形，不一样。重心一定在三角形内部。 等腰直角三角形，外心在斜边中点。 钝角三角形，外心在三角形外部。 旁心，这是个啥？ 旁心是三角形三边的外角平分线的交点。 三角形重心如何算？重心是三条中线的交点。 三角形垂心如何算？垂心是三条高的交点。 三角形内心如何算？内心是三条角平分线的交点。 三角形外心如何算？外心是三边垂直平分线的交点。 重心 重心是三条中线的交点。它把中线分成两局部，长的那段是短的那段的 2 倍，也就是重心分中线的比是 2：1。 垂心 垂心是三条高的交点。 内心 内心是三条角平分线的交点。 外心 外心是三边垂直平分线的交点。 重心、垂心、内心、外心，这四个点，它们位置关系是啥？ 等边三角形，都一样。 等腰三角形，不一样。重心一定在三角形内部。 等腰直角三角形，外心在斜边中点。 钝角三角形，外心在三角形外部。 旁心，这是个啥？ 旁心是三角形三边的外角平分线的交点。 三角形面积如何算，公式是底乘以高再除以二。
这个公式记下来，赶明儿做题就能派上用场。
比如一个底边是十厘米，高是二十厘米的平行四边形，面积就是二百平方厘米。 如何证明三角形内角和为 180 度？ 先画个示意图，三角形的三个角标上 A、B、C。 在 A 点上画个平角，那是 180 度，也就是 2A + B + C = 180。 然后画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 什么的，这个推导仿佛有点绕，不如直接推结论。 假设三角形内角和是 180 度。 设三个角是 A、B、C。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接着就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此 2C = 180，C = 90。 这个推导仿佛确实有点难题，不如直接推结论。 设三角形内角和是 180 度。 画个平角，2A + B + C = 180。 再画个辅助线，从 B 点引一条平行线。 算出 B 角对应的同位角也是 B，内错角也是 B。 那么 2B + 2B + C = 180，也就是 2B + C = 180。 接下来就是 C 角对应的同旁内角互补，也就是 C + C = 180，故此