共圆定理证明-共圆定理及其证明

老伙计们，咱今天不整那些教科书上光溜溜的定理名头，也不讲长篇大论的“由...推..."。
这玩意儿啊，说白了就是画个图，看看那些不一样大的角，能不能挤得进同一个圆。
要是能，那就是共圆；要是挤不进，那它们就是分家了。 你想啊，平面上给一堆点，哪位跟哪位挨得近，哪位又隔着远。大量时候，要是两个角对着的同一条边，并且这两个角加起来是 180 度，那它们肯定是共圆的。
这就像两个人背对背坐在一条直线上，转头一看，中间隔着墙，墙后面还站着第三人，那他们肯定坐着一个大圆——自然，前提是他们本来就在一条线上。但这玩意儿忒好办了，咱要是把“等腰三角形”要么“同侧等角”这种显而易见的情况先排掉，剩下的就是真正神仙般的证明。 咱们拿一个经典的例子看吧，就是那个著名的托勒密定理。
有时候大家听到“共圆”就脑补一堆复杂的正弦定理，实际上大量时候，这就是三角函数玩出来的几何魔术。 欧几里得那个时代， Vecten 构造那个图简直是把几何玩到了极致。他拿了一个圆，然后在圆上取四个点，连接成四边形。
这时候，你会发现大量角都有特殊关系。
比方说，要是这四个点按某种顺序排，你会发现对角线乘积等于两组对边乘积之和。
这时候，一个圆圆连起来，所有的角都在同一条直线上。
这时候，要是把这个四边形拉直，你会发现对角线实际上是直径？不对，这忒复杂了。 咱换个角度。想象画一个圆，然后画两个弦。
这时候，要是这两个弦夹出来的角，跟它们所对的弧长要么面积相关系，那这事儿就有点意思了。
比方说，画个圆，然后画一个等边三角形。
这时候，要是我们往这三边的中点连线，这就变成了某种特殊的弦。
这时候，你会发现某些线段的比值，跟弦长本身成嵌合。 咱们回到经典的共圆判定。假设你有一堆角，它们都对着同一条边。
这时候，要是你发现这两个角相等，那它们肯定共圆。
比如画两个同底同高的三角形，底边重合，那它们的高肯定相等。
这时候，要是你发现顶点的角度相等，那它们肯定共圆。 咱们来算个数。假设画一个圆，半径是 1。你在圆周上取三个点。
这时候，弦长等于 2 的，那对应的圆心角务必是 180 度？不对，那是直径。
哦，要是弦长是 $sqrt{3}$，那圆心角是 120 度。
这时候，要是你画两个这样的弦，夹角是 60 度，那你拿到的三角形内角，正好是 30, 30, 120 的分布。
这时候，你会发现某些线的交点，落在圆心上。 比如，画一个圆，半径为 R。
然后画两条平行线？不对，那是梯形。画两个弦，把圆分成几份。
这时候，要是你取中点，连接圆心。
这时候，你会发现，某些垂直线段的长度，跟弦长有固定的比例关系。
比方说，要是弦长是 2，那垂直距离是 0？不对。
要是弦长是 $sqrt{3}$，那垂直距离是 0.5？ 咱们具体算个数吧。设定圆半径 $R=1$。画两条弦 $A'B'$ 和 $AB$，它们把圆分成四段弧。假设这四段弧对应的圆心角分别是 $2alpha, 2beta, 2gamma, 2delta$。
这时候，要是 $alpha + gamma = beta + delta$，那这四个角对应的弦，肯定共圆。
为啥？出于这意味着它们对应的弧长和是相等的。
这时候，要是画一个四边形，连接对应的端点，你会发现对角的余弦值知足某种关系。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，长度都是 $sqrt{3}$。
这时候，这两条弦的夹角是 60 度。
这时候，要是你取这两条弦的交点，然后连向圆上的另一点，你会发现某些线段的长度比是固定的。
比方说，要是这条线垂直于弦，那垂线段长度是 0.5。
这时候，你会发现，要是把这个图形补全，形成一个等边三角形，那某些线段的夹角，正好是 120 度？ 再比如，画一个圆，然后画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个更小的菱形要么正六边形？这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现某些角的正弦值，跟弦长相关。
比方说，要是弦长是 $sqrt{2}$，那对应的圆心角是 90 度。
这时候，要是你取这两条弦的交点，然后过交点作一条垂线，垂足在圆上。
这时候，你会发现，这条垂线段的长度，跟弦长有固定关系。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度？ 再比如，画一个圆，然后画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
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这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
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这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
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这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
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这时候，正方形的对角线是 2。
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这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
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这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
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这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
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比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
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这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
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这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
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这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
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这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
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这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
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这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
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这时候，这两条弦把圆分成四局部。
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比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
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这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
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这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
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这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
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这时候，正方形的对角线是 2。
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这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
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这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
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这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
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这时候，正方形的对角线是 2。
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这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
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这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
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这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
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这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个正方形，边长是 $sqrt{2}$。
这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以正方形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接梯形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以梯形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
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这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
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这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
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这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
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这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
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这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
这时候，你会发现，要是连接正方形各边的中点，形成一个正六边形。
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这时候，正方形的对角线是 2。
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这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
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这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
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这时候，要是画两条对角线，互相垂直。
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这时候，正方形的对角线是 2。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直平分。
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这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画一个矩形，长宽比是 2:1。
这时候，矩形的对角线相等，长度是 $sqrt{5}$。
这时候，要是你画两条对角线，互相垂直。
这时候，你会发现，要是连接矩形各边的中点，形成一个平行四边形。
这时候，你会发现，某些对角线的交点，落在以矩形中心为圆心的圆上。 比如，画一个圆，半径 1。画两条弦，互相垂直，长度都是 $sqrt{2}$。
这时候，这两条弦把圆分成四局部。
这时候，要是你取交点，然后连线，你会发现，某些线段的比是固定的。
比方说，要是连接交点到圆上某点，长度是 1。
这时候，你会发现，要是把这个图形旋转，你会发现某些线的夹角，正好是 90 度。 比如，画一个圆，然后画一个等腰梯形，两底平行，腰长等于底边。
这时候，要是画两条对角线，互相