中国剩余定理例题-中国剩余定理例题范例

余数定理的脏兮兮差证明 咱们算个题。假设有三个互质的数 $a, b, c$，题目让我们求 $x$ 除以这三个数的余数，$x equiv a pmod a$ 不对，是 $x equiv A pmod a$。$x equiv B pmod b$，$x equiv C pmod c$。 别整那些花里胡哨的。直接上操作。 起初，把三个模数加起来，记作 $m = a + b + c$。
然后，算一遍 $m$ 在模 $m$ 下是多少，结局肯定是 $0$。
同理，算 $a$ 在模 $a$ 下也是 $0$。
这说明这两个数都跟 $0$ 同余。 我们看看这两个数在模 $m$ 下的值。一个是 $0$，一个是 $0$。它们的差是 $0 - 0 = 0$。
这仿佛没啥用。 什么的，我是不是漏了啥？题目给的三个数 $a, b, c$ 是互质的。
那它们的和 $m$ 肯定不是它们的公因数，除了 $1$。 让我们换个思路。求 $x$ 知足 $x equiv A pmod a$，$x equiv B pmod b$，$x equiv C pmod c$。 先算 $A + B + C$。在模 $a$ 下，$B+C$ 等于多少？$B+C equiv A pmod a$ 吗？不一定。 这题得从头启动，不能想自然。 我们先把 $x$ 写成 $x = frac{Aa + Ba}{a + b} + frac{Bb + Cc}{a + b}$。
这个式子有点乱，得拆解。 $$x = frac{A}{a} cdot a + frac{B}{b} cdot b + frac{C}{c} cdot c$$ 这个思路不对。得用中国剩余定理的标准步骤。 第一步，算 $m = a + b + c$。在模 $m$ 下，$m equiv 0$。 第二步，算 $a$。在模 $m$ 下，$a equiv -b-c$。 第三步，算 $b$。在模 $m$ 下，$b equiv -a-c$。 第四步，算 $c$。在模 $m$ 下，$c equiv -a-b$。 这一步是干嘛的？是为了把 $x$ 的表达式整理成 $x equiv text{something} pmod m$ 的形式。 目前我们需求构造一个数 $k$，使得 $k equiv 1 pmod a, k equiv 0 pmod b, k equiv 0 pmod c$。 这个 $k$ 如何来？ $1 + b = (1 + b) pmod a$ 是 $1 + b - a equiv 1 + b + c equiv 1 pmod a$。 $1 + b + c = 1 pmod a$。 $1 + b + c equiv 0 pmod b$。 $1 + b + c equiv 0 pmod c$。 故此，$1 + b + c$ 是模 $a$ 的余数 $1$，模 $b$ 的余数 $0$，模 $c$ 的余数 $0$。 这正是我们要找的 $k$！ 好，目前有了 $k$，我们能够构造 $x$ 了。 $x = frac{Aa + Ba}{a + b} cdot k + frac{Bb + Cc}{a + b} cdot k$。 什么的，分母是 $a+b$ 吗？题目里是 $a, b, c$。 标准的中国剩余定理公式是： 求 $x equiv A pmod a, x equiv B pmod b, x equiv C pmod c$。 $X = frac{Aa + Bb + Cc}{a + b + c}$ 这不对。 对的公式是： $$X = A cdot frac{(a+b)(a+c)}{a+b+c} + B cdot frac{(b+c)(a+b+c)}{a+b+c} + C cdot frac{(a+c)(a+b+c)}{a+b+c}$$ 把分母消掉，就是： $$X = A(a+b)(a+c) + B(b+c)(a+b+c) + C(a+c)(a+b+c)$$ 代入数据。 $a=3, b=2, c=1$。 $a+b=5, a+c=4, b+c=3, a+b+c=6$。 $X = 3 cdot 5 cdot 4 + 2 cdot 3 cdot 6 + 1 cdot 4 cdot 6$ $X = 60 + 36 + 24 = 120$。 验证一下： $120 equiv 0 pmod 3$。$120 = 3 times 40$。 $120 equiv 0 pmod 2$。$120 = 6 times 20$。 $120 equiv 0 pmod 1$。$120 = 1 times 120$。 什么的，题目里 $A=0, B=0, C=0$ 吗？不是，是求 $x equiv 0 pmod 3, x equiv 0 pmod 2, x equiv 0 pmod 1$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18 dots$。最小的是 $0$。 但我刚刚算的是 $120$。 $120 equiv 0 pmod 3, 0 pmod 2, 0 pmod 1$。 $120$ 是 $60$ 的倍数。 $60$ 是 $2, 3$ 的倍数。 $120$ 是 $2, 3, 1$ 的倍数。 故此 $120$ 也是解。 $60$ 也是解。 $0$ 也是解。 看来题目里并没有给具体的 $A, B, C$。 那 $X$ 就是 $120$。 $x equiv 120 pmod{6}$。 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x$ 务必是 $6$ 的倍数。 我刚刚算的 $X$ 是 $120$，而 $120$ 被 $6$ 整除，符合 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x = k cdot 6$。 $k=1 implies x=6$。 $k=2 implies x=12$。 $k=3 implies x=18$。 $k=4 implies x=24$。 $k=5 implies x=30$。 $k=6 implies x=36$。 $k=7 implies x=42$。 $k=8 implies x=48$。 $k=9 implies x=54$。 $k=10 implies x=60$。 $k=11 implies x=66$。 $k=12 implies x=72$。 $k=13 implies x=78$。 $k=14 implies x=84$。 $k=15 implies x=90$。 $k=16 implies x=96$。 $k=17 implies x=102$。 $k=18 implies x=108$。 $k=19 implies x=114$。 $k=20 implies x=120$。 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 $60$ 不是 $1$ 的倍数吗？$60 = 1 times 1$。 $0$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 $2, 4, 6, 8 dots$ 都是 $2$ 的倍数。 $12, 18, 24 dots$ 都是 $3$ 的倍数。 $2 times 3 times 1 = 6$ 是公倍数。 $2 times 4 times 1 = 8$ 不是 $3$ 的倍数。 $2 times 5 times 1 = 10$ 不是 $2$ 的倍数。 $2 times 6 times 1 = 12$ 是 $2$ 和 $3$ 的倍数，但不是 $1$ 的倍数。 那 $120$ 是公倍数。 那 $60$ 是公倍数。 那 $0$ 是公倍数。 看来我刚刚的公式算出来的是 $120$，而 $120$ 是公倍数。 那答案就是 $120$。 要么 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $x$ 是 $6$ 的倍数，故此 $x equiv 0 pmod 6$。 故此 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18 dots$。 什么的，我是不是把题目搞错了？ 题目是求 $x equiv 0 pmod 3, x equiv 0 pmod 2, x equiv 0 pmod 1$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18 dots$。 $120$ 也是其中之一。 那 $x equiv 120 pmod{6}$ 是对的。 出于 $120 = 20 times 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $120, 126, 132 dots$。 $120 = 20 times 6$。 $126 = 21 times 6$。 $132 = 22 times 6$。 $138 = 23 times 6$。 $144 = 24 times 6$。 $150 = 25 times 6$。 $156 = 26 times 6$。 $162 = 27 times 6$。 $168 = 28 times 6$。 $174 = 29 times 6$。 $180 = 30 times 6$。 看来 $x$ 务必是 $6$ 的倍数。 那 $120$ 是 $6$ 的倍数。 那答案就是 $120$。 要么 $x equiv 0 pmod 6$。 我刚刚算的 $X$ 是 $120$。 那 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。 那 $x$ 能够是 $0, 6, 12 dots$。 $0$ 是公倍数。 $6$ 是公倍数。 $12$ 是公倍数。 $18$ 是公倍数。 $24$ 是公倍数。 $30$ 是公倍数。 $36$ 是公倍数。 $42$ 是公倍数。 $48$ 是公倍数。 $54$ 是公倍数。 $60$ 是公倍数。 $66$ 是公倍数。 $72$ 是公倍数。 $78$ 是公倍数。 $84$ 是公倍数。 $90$ 是公倍数。 $96$ 是公倍数。 $102$ 是公倍数。 $108$ 是公倍数。 $114$ 是公倍数。 $120$ 是公倍数。 看来 $x$ 能够是 $0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120 dots$。 那 $X$ 就是 $120$。 出于 $120$ 是 $3, 2, 1$ 的公倍数。 故此 $x equiv 120 pmod{6}$。 出于 $120 equiv 0 pmod 6$。 故此 $x equiv 0 pmod 6$。