角函数正弦定理方法-正弦定理解三角函数｜系统掌握正弦定理解三角函数全攻略

1判断解的个数：SSA情形，a = 2√3 ≈ 3.464, b = 2, A = 60°（锐角）

计算 b·sin A = 2 × (√3/2) = √3 ≈ 1.732

因 b·sin A = 1.732 < a = 3.464 > b = 2，满足“两解”条件？注意！此处a > b，应为一解（大边对大角，A=60°为最大角）

2用正弦定理求角B：

a/sin A = b/sin B → 2√3 / sin60° = 2 / sin B

sin60° = √3/2，代入得：2√3 / (√3/2) = 4 = 2 / sin B → sin B = 2/4 = 0.5

故B = 30°或150°

3验证角度合理性：

若B=150°，则A+B=210°>180°，不成立 → B=30°

故C = 180° − 60° − 30° = 90°

4求边c（或用勾股定理）：

由正弦定理：c/sin C = 4 → c = 4 × sin90° = 4 × 1 = 4

答案：c = 4

1构建模型：

设无人机到塔的水平距离为x，则：

塔顶高度：h + H₁ = x tan α

塔底高度：h − H₂ = x tan(−β)（俯角为负）

但更简便：古塔总高H = H₁ + H₂，其中H₁ = x tan α, H₂ = x tan β

⇒ H = x (tan α + tan β)

2用正弦定理求x（关键步骤）：

构造三角形：无人机A，塔顶B，塔底C，形成△ABC。

∠A = α + β = 50°, AB = x / cos α, AC = x / cos β

但更优法：在Rt△中直接得x = h / sin(α + β)？错误！

正确模型：过无人机作水平线，与塔顶、塔底连线构成两个直角三角形。水平距离x满足：

tan α = H₁ / x, tan β = H₂ / x ⇒ H = x (tan α + tan β)

而x = h / tan(α + β)？否！实际x为未知量，需另一条件。

3用三角函数正弦定理方法-正弦定理解三角函数：

考虑△ABC（A=无人机，B=塔顶，C=塔底）：

∠BAC = α + β = 50°, ∠ABC = 90° − α = 52°, ∠ACB = 90° + β = 102°

边BC = H（待求）, 边AB = h / sin β = 120 / sin12° ≈ 572.0

由正弦定理：H / sin(α + β) = AB / sin(90° + β)

⇒ H = AB × sin50° / cos β = 572.0 × sin50° / cos12°

计算：sin50°≈0.7660, cos12°≈0.9781 ⇒ H ≈ 572.0 × 0.7660 / 0.9781 ≈ 448.3米

1用余弦定理求角B：

cos B = (a² + c² − b²)/(2ac) = (ac)/(2ac) = 1/2 ⇒ B = 60°

2用正弦定理转化角度关系：

由正弦定理：a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C

代入a² + c² − b² = ac：

(2R)² (sin²A + sin²C − sin²B) = (2R)² sin A sin C

⇒ sin²A + sin²C − sin²B = sin A sin C

3结合B=60°及A+C=120°：

设A = 60° + θ, C = 60° − θ（因A+C=120°）

则sin A = sin(60°+θ), sin C = sin(60°−θ)

计算sin A sin C = [sin60°cosθ + cos60°sinθ][sin60°cosθ − cos60°sinθ]

= sin²60°cos²θ − cos²60°sin²θ = (3/4)cos²θ − (1/4)sin²θ

已知sin A sin C = 3/4，代入：

(3/4)cos²θ − (1/4)sin²θ = 3/4

⇒ 3cos²θ − sin²θ = 3

⇒ 3(1 − sin²θ) − sin²θ = 3

⇒ 3 − 4sin²θ = 3 ⇒ sin²θ = 0 ⇒ θ = 0°

4得出结论：

θ=0° ⇒ A=C=60° ⇒ △ABC为等边三角形

验证：a=b=c时，a²+c²−b²=ac成立；sin A sin C = sin²60°=3/4，符合。